MLE和MAP

• 频率学派 - Frequentist - Maximum Likelihood Estimation (MLE，最大似然估计)
• 贝叶斯学派 - Bayesian - Maximum A Posteriori (MAP，最大后验估计)

  1. 两大学派的争论

  抽象一点来讲，频率学派和贝叶斯学派对世界的认知有本质不同：
  频率学派认为世界是确定的，有一个本体，这个本体的真值是不变的，我们的目标就是要找到这个真值或真值所在的范围；
  而贝叶斯学派认为世界是不确定的，人们对世界先有一个预判，而后通过观测数据对这个预判做调整，我们的目标是要找到最优的描述这个世界的概率分布。

在对事物建模时，用 表示模型的参数，请注意，解决问题的本质就是求 。那么：
(1) 频率学派：存在唯一真值 。举一个简单直观的例子—抛硬币，我们用 来表示硬币的bias。抛一枚硬币100次，有20次正面朝上，要估计抛硬币正面朝上的bias 。在频率学派来看， = 20 / 100 = 0.2，很直观。当数据量趋于无穷时，这种方法能给出精准的估计；然而缺乏数据时则可能产生严重的偏差。例如，对于一枚均匀硬币，即 = 0.5，抛掷5次，出现5次正面 (这种情况出现的概率是1/2^5=3.125%)，频率学派会直接估计这枚硬币 = 1，出现严重错误。
(2) 贝叶斯学派： 是一个随机变量，符合一定的概率分布。在贝叶斯学派里有两大输入和一大输出，输入是先验 (prior)和似然 (likelihood)，输出是后验 (posterior)。先验，即 ，指的是在没有观测到任何数据时对 的预先判断，例如给我一个硬币，一种可行的先验是认为这个硬币有很大的概率是均匀的，有较小的概率是是不均匀的；似然，即 ，是假设 已知后我们观察到的数据应该是什么样子的；后验，即 ，是最终的参数分布。贝叶斯估计的基础是贝叶斯公式，如下：

同样是抛硬币的例子，对一枚均匀硬币抛5次得到5次正面，如果先验认为大概率下这个硬币是均匀的 (例如最大值取在0.5处的Beta分布)，那么 ，即 ，是一个distribution，最大值会介于0.5~1之间，而不是武断的 = 1。
这里有两点值得注意的地方：

• 随着数据量的增加，参数分布会越来越向数据靠拢，先验的影响力会越来越小（每次得到的后验概率作为下一轮的先验）
• 如果先验是uniform distribution，则贝叶斯方法等价于频率方法。因为直观上来讲，先验是uniform distribution本质上表示对事物没有任何预判

  2. MLE-最大似然估计

  Maximum Likelihood Estimation, MLE是频率学派常用的估计方法！
  假设数据 是i.i.d.的一组抽样， 。其中i.i.d.表示Independent and identical distribution，独立同分布。那么MLE对 的估计方法可以如下推导：
  

  3. MAP-最大后验估计

  Maximum A Posteriori, MAP是贝叶斯学派常用的估计方法！
  同样的，假设数据 是i.i.d.的一组抽样， 。那么MAP对 的估计方法可以如下推导：
  
  其中，第二行到第三行使用了贝叶斯定理，第三行到第四行 可以丢掉因为与 无关。
  好的，那现在我们来研究一下这个先验项，假定先验是一个高斯分布，即
  
  那么， 。至此，一件神奇的事情发生了 — 在MAP中使用一个高斯分布的先验等价于在MLE中采用L2的regularizaton！