4. 概率计算

概率

定义

量度某事发生几率的一种数量指标。你可以用概率衡量发生某件事的可能性

求解

即 %3D%5Cfrac%7Bn(A)%7D%7Bn(S)%7D#card=math&code=P%28A%29%3D%5Cfrac%7Bn%28A%29%7D%7Bn%28S%29%7D)

1. S被称为概率空间,或称样本空间,是表示所有可能结果的一种简便表示法。可能发生的事件都是S的子集。
2. 概率只是对事件发生可能性的一种表达,概率并非担保。

事件

事件就是人们能指出其发生可能性的任何事情

事件的分类：

维恩图

画一个方框代表样本空间S,然后画几个圆圈代表各个相关事件, 这种图称为维恩图。

对立事件

“A不发生”事件有一种简便表示方法一一A。A被称为A的对立事件。
%2BP(A’)%3D1#card=math&code=P%28A%29%2BP%28A%27%29%3D1)

互斥事件

• 如果两个事件是互斥事件,则只有其中ー个事件会发生。
  

相交事件

交集带来的问题
* 如果两个事件相交, 则这两个事件有可能同时发生。

例
停球结果为黑色或偶数为相关事件。不能相加

当将两个概率相加时,我们将停球结果为“黑色兼偶数”的概率算了两次。

交集与并集的表示

• A与B的交集，，理解为“与”，表示不同事件的共同要素。
• A与B的并集，，理解为“或”，表示A与B的所有要素
• 若%3D1#card=math&code=P%28A%5Cbigcup%20B%29%3D1),A与B穷举
  

条件概率

以另一个事件的发生为条件的某个事件的发生概率,我们就用“|”符号表示“已知条件”,于是,“以事件B 为已知条件的事件A的概率”就可以简写为:

#card=math&code=P%28A%7CB%29)

在已知B已经发生的条件下A的概率

现在要用一种通用方法来计算#card=math&code=P%28A%7CB%29)。我们感兴趣的是A和B 同时发生的次数与B发生的所有次数相除的结果。观察维恩图, 得到:

%3D%5Cfrac%7BP(A%5Cbigcap%20B)%7D%7BP(B)%7D#card=math&code=P%28A%7CB%29%3D%5Cfrac%7BP%28A%5Cbigcap%20B%29%7D%7BP%28B%29%7D)

变化得到：%3D%20P(A%7CB)%20*%20P(B)#card=math&code=P%28A%5Cbigcap%20B%29%3D%20P%28A%7CB%29%20%2A%20P%28B%29)

#card=math&code=P%28A%5Cbigcap%20B%29)同样也是#card=math&code=P%28B%5Cbigcap%20A%29),即可得：

%3D%20P(B%7CA)%20*%20P(A)#card=math&code=P%28B%5Cbigcap%20A%29%3D%20P%28B%7CA%29%20%2A%20P%28A%29)

概率树

利用概率树计算条件概率

概率树计算概率步骤

1. 分出计算概率的层级
   如：#card=math&code=P%28A%7CB%29)则在第一级中涵盖B，第二级中涵盖A
2. 填写已知部分概率
3. 检验
   每一级分支的概率总和为1，%3D1-P(A’)#card=math&code=P%28A%29%3D1-P%28A%27%29)
4. 记住公式
   %3D%5Cfrac%7BP(A%5Cbigcap%20B%20)%7D%7BP(B)%7D#card=math&code=P%28A%7CB%29%3D%5Cfrac%7BP%28A%5Cbigcap%20B%20%29%7D%7BP%28B%29%7D)

运用（利用已知概率，求新的概率）

已知#card=math&code=P%28%E5%81%B6%7C%E9%BB%91%29),算#card=math&code=P%28%E9%BB%91%7C%E5%81%B6%29)**

%3D%5Cfrac%7BP(%E9%BB%91%5Cbigcap%E5%81%B6)%7D%7BP(%E5%81%B6)%7D#card=math&code=P%28%E9%BB%91%7C%E5%81%B6%29%3D%5Cfrac%7BP%28%E9%BB%91%5Cbigcap%E5%81%B6%29%7D%7BP%28%E5%81%B6%29%7D)

1. 求#card=math&code=P%28%E9%BB%91%5Cbigcap%E5%81%B6%29)
   %3DP(%E9%BB%91)P(%E5%81%B6%7C%E9%BB%91)#card=math&code=P%28%E9%BB%91%5Cbigcap%E5%81%B6%29%3DP%28%E9%BB%91%29%2AP%28%E5%81%B6%7C%E9%BB%91%29)
   %3D%5Cfrac%7BP(%E9%BB%91)P(%E5%81%B6%7C%E9%BB%91)%7D%7BP(%E5%81%B6)%7D#card=math&code=P%28%E9%BB%91%7C%E5%81%B6%29%3D%5Cfrac%7BP%28%E9%BB%91%29%2AP%28%E5%81%B6%7C%E9%BB%91%29%7D%7BP%28%E5%81%B6%29%7D)
2. 求#card=math&code=P%28%E5%81%B6%29)
   小球停在偶数球位上的情况包括:球位既是黑色又是偶数,或者球位既是红色又是偶数。这两种情况就是小球停在偶数球位上的方式。
   
3. 求#card=math&code=P%28%E9%BB%91%7C%E5%81%B6%29)
   %3D%5Cfrac%7BP(%E9%BB%91%5Cbigcap%E5%81%B6)%7D%7BP(%E5%81%B6)%7D#card=math&code=P%28%E9%BB%91%7C%E5%81%B6%29%3D%5Cfrac%7BP%28%E9%BB%91%5Cbigcap%E5%81%B6%29%7D%7BP%28%E5%81%B6%29%7D)
   P(%E5%81%B6%7C%E9%BB%91)%7D%7BP(%E9%BB%91)P(%E5%81%B6%7C%E9%BB%91)%2BP(%E7%BA%A2)*P(%E5%81%B6%7C%E7%BA%A2)%7D#card=math&code=%3D%5Cfrac%7BP%28%E9%BB%91%29%2AP%28%E5%81%B6%7C%E9%BB%91%29%7D%7BP%28%E9%BB%91%29%2AP%28%E5%81%B6%7C%E9%BB%91%29%2BP%28%E7%BA%A2%29%2AP%28%E5%81%B6%7C%E7%BA%A2%29%7D)

贝叶斯定理

利用已有的概率, 求出要的概率

已知#card=math&code=P%28A%29),且已知#card=math&code=P%28B%EF%BD%9CA%29)和#card=math&code=P%28B%EF%BD%9CA%27%29)，求出#card=math&code=P%28A%20%7C%20B%29)

%3D%5Cfrac%7BP(A%5Cbigcap%20B)%7D%7BP(B)%7D#card=math&code=P%28A%7CB%29%3D%5Cfrac%7BP%28A%5Cbigcap%20B%29%7D%7BP%28B%29%7D)

%3D%5Cfrac%7BP(A)P(B%7CA)%7D%7BP(A)P(B%7CA)%2BP(A’)*P(B%7CA’)%7D#card=math&code=P%28A%7CB%29%3D%5Cfrac%7BP%28A%29%2AP%28B%7CA%29%7D%7BP%28A%29%2AP%28B%7CA%29%2BP%28A%27%29%2AP%28B%7CA%27%29%7D)

这就是所谓的贝叶斯定理。

条件概率下事件分类

相关事件

如果用通用术语表达就是:如果 #card=math&code=P%28AIB%29)与#card=math&code=P%28A%29)不等,则我们说事件A与事件B是相关事件一这等于说事件A与事件B 的概率相互影响。

独立事件

如果事件A和事件B相互独立,则事件A的概率不受事件B的影响, 换句话说,对于独立事件来说:
%3D%20P(A)#card=math&code=P%28A%EF%BD%9CB%29%3D%20P%28A%29)

独立事件概率计算

%3D%20%5Cfrac%7BP(A%5Cbigcap%20B)%7D%7BP(B)%7D#card=math&code=P%28A%EF%BD%9CB%29%3D%20%5Cfrac%7BP%28A%5Cbigcap%20B%29%7D%7BP%28B%29%7D)

• 如果A和B是独立事件,则#card=math&code=P%28AIB%29)与#card=math&code=P%28A%29)相同。即对于独立事件来说:

%3DP(A)*P(B)#card=math&code=P%28A%E2%88%A9B%29%3DP%28A%29%2AP%28B%29)

• 即,如果两个事件相互独立,则通过将两个事件各自的概率相乘,可以算出同时发生这两件事的概率。