11.1 堆排序

11.1.1 堆排序基本介绍

1.堆的时间复杂度

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复 杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。

2.堆的定义

堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆, 注意: 没有
要求结点的左孩子的值和右孩子的值的大小关系。 每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆

3. 大顶堆举例说明

java数据结构 第11章--树结构实际应用 - 图1

4. 小顶堆举例说明

java数据结构 第11章--树结构实际应用 - 图2

5. 使用场景

一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆

11.1.2 堆排序基本思想

堆排序的基本思想是：

1) 将待排序序列构造成一个大顶堆
2) 此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。
3) 将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。
4) 然后将剩余n-1 个元素重新构造成一个堆，这样会得到n 个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序
序列了。
可以看到在构建大顶堆的过程中，元素的个数逐渐减少，最后就得到一个有序序列了.

11.1.3 堆排序步骤图解

1.说明

要求 给你一个数组{4,6,8,5,9} , 要求使用堆排序法，将数组升序排序。

2.步骤一：构造初始堆

将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。 原始的数组[4, 6, 8, 5, 9]
1) .假设给定无序序列结构如下
java数据结构 第11章--树结构实际应用 - 图3
2) .此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点
arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6 结点），从左至右，从下至上进行调整。
3) .
java数据结构 第11章--树结构实际应用 - 图4
3) .找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9 元素最大，4 和9 交换。
java数据结构 第11章--树结构实际应用 - 图5
4) 这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6 最大，交换4 和6。 此时，我们就将一个无序序列构造成了一个大顶堆。
java数据结构 第11章--树结构实际应用 - 图6

此时，我们就将一个无序序列构造成了一个大顶堆。

3.步骤二：将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。 然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。
1) .将堆顶元素9 和末尾元素4 进行交换
java数据结构 第11章--树结构实际应用 - 图7

2) .重新调整结构，使其继续满足堆定义
java数据结构 第11章--树结构实际应用 - 图8
3) .再将堆顶元素8 与末尾元素5 进行交换，得到第二大元素8.
java数据结构 第11章--树结构实际应用 - 图9
4) 后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序
java数据结构 第11章--树结构实际应用 - 图10

4.再简单总结下堆排序的基本思路：

1).将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;
2).将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素”沉”到数组末端;
3).重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，
直到整个序列有序。

11.1.4 堆排序代码实现

1.要求：

给你一个数组{4,6,8,5,9} , 要求使用堆排序法，将数组升序排序。

2.说明：

1) 堆排序不是很好理解，老师通过Debug 帮助大家理解堆排序
2) 堆排序的速度非常快，在我的机器上8 百万数据3 秒左右。O(nlogn)

3.代码实现

思路：
java数据结构 第11章--树结构实际应用 - 图11

  1. package tree;
  3. import java.text.SimpleDateFormat;
  4. import java.util.Arrays;
  5. import java.util.Date;
  7. public class HeapSort {
  8.     public static void main(String[] args) {
  9.         //要求将数组进行升序排序
  10.         //int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9};
  11.         // 创建要给80000 个的随机的数组
  12.         int[] arr = new int[8000000];
  13.         for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
  14.             arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
  15.         }
  16.         System.out.println("排序前");
  17.         Date data1 = new Date();
  18.         SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
  19.         String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
  20.         System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);
  21.         heapSort(arr);
  22.         Date data2 = new Date();
  23.         String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
  24.         System.out.println("排序前的时间是=" + date2Str);
  25.         //System.out.println("排序后=" + Arrays.toString(arr));
  26.     }
  28.     //编写一个堆排序的方法
  29.     public static void heapSort(int arr[]) {
  30.         int temp = 0;
  31.         System.out.println("堆排序!!");
  32.         // //分步完成
  33.         // adjustHeap(arr, 1, arr.length);
  34.         // System.out.println("第一次" + Arrays.toString(arr)); // 4, 9, 8, 5, 6
  35.         //
  36.         // adjustHeap(arr, 0, arr.length);
  37.         // System.out.println("第2 次" + Arrays.toString(arr)); // 9,6,8,5,4
  38.         //完成我们最终代码
  39.         //将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆
  40.         for (int i = arr.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
  41.             adjustHeap(arr, i, arr.length);
  42.         }
  43.         /*
  44.         * 2).将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;
  45.         3).重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换
  46.         步骤，直到整个序列有序。
  47.         */
  48.         for (int j = arr.length - 1; j > 0; j--) {
  49.             //交换
  50.             temp = arr[j];
  51.             arr[j] = arr[0];
  52.             arr[0] = temp;
  53.             adjustHeap(arr, 0, j);
  54.         }
  55.         //System.out.println("数组=" + Arrays.toString(arr));
  56.     }
  57.         //将一个数组(二叉树), 调整成一个大顶堆
  59.     /**
  60.      * 功能： 完成将以i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆
  61.      * 举例int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9}; => i = 1 => adjustHeap => 得到{4, 9, 8, 5, 6}
  62.      * 如果我们再次调用adjustHeap 传入的是i = 0 => 得到{4, 9, 8, 5, 6} => {9,6,8,5, 4}
  63.      *
  64.      * @param arr    待调整的数组
  65.      * @param i      表示非叶子结点在数组中索引
  66.      * @param lenght 表示对多少个元素继续调整， length 是在逐渐的减少
  67.      */
  68.     public static void adjustHeap(int arr[], int i, int lenght) {
  69.         int temp = arr[i];//先取出当前元素的值，保存在临时变量
  70.         //开始调整
  71.         //说明
  72.         //1. k = i * 2 + 1 k 是i 结点的左子结点
  73.         for (int k = i * 2 + 1; k < lenght; k = k * 2 + 1) {
  74.             if (k + 1 < lenght && arr[k] < arr[k + 1]) { //说明左子结点的值小于右子结点的值
  75.                 k++; // k 指向右子结点
  76.             }
  77.             if (arr[k] > temp) { //如果子结点大于父结点
  78.                 arr[i] = arr[k]; //把较大的值赋给当前结点
  79.                 i = k; //!!! i 指向k,继续循环比较
  80.             } else {
  81.                 break;//!
  82.             }
  83.         }
  84.         //当for 循环结束后，我们已经将以i 为父结点的树的最大值，放在了最顶(局部)
  85.         arr[i] = temp;//将temp 值放到调整后的位置
  86.     }
  87. }

4.运行结果

  1. 堆排序!!
  2. 排序后={4,5,6,8,9}

5. 效率测试（800w 3s）

  1. //测试速度
  2. 排序前
  3. 排序前的时间是=2021-04-17 15:33:48
  4. 堆排序!!
  5. 排序前的时间是=2021-04-17 15:33:51
  7. Process finished with exit code 0

其他备注

1.排序算法之 堆排序 及其时间复杂度和空间复杂度

11.2 赫夫曼树

11.2.1 基本介绍

1.最优二叉树定义

给定n 个权值作为n 个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度(wpl)达到最小，称这样的二叉树为 最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree), 还有的书翻译为霍夫曼树。

2.最优二叉树特点

赫夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近

11.2.2 赫夫曼树几个重要概念和举例说明

1.路径和路径长度：

在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L 层结点的路径长度为L-1

2.结点的权及带权路径长度：

若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结 点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积

3.树的带权路径长度：

树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL(weighted path length) ,权值越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。

4.WPL 最小的就是赫夫曼树

java数据结构 第11章--树结构实际应用 - 图12
（第二颗权值最小，为赫夫曼树）

11.2.3 赫夫曼树创建思路图解

给你一个数列{13, 7, 8, 3, 29, 6, 1}，要求转成一颗赫夫曼树.

1.思路分析(示意图)：构成赫夫曼树的步骤：

{13, 7, 8, 3, 29, 6, 1}
构成赫夫曼树的步骤：
1) 从小到大进行排序, 将每一个数据，每个数据都是一个节点， 每个节点可以看成是一颗最简单的二叉树
2) 取出根节点权值最小的两颗二叉树
3) 组成一颗新的二叉树, 该新的二叉树的根节点的权值是前面两颗二叉树根节点权值的和
4) 再将这颗新的二叉树，以根节点的权值大小再次排序， 不断重复1-2-3-4 的步骤，直到数列中，所有的数
据都被处理，就得到一颗赫夫曼树
5) 图解:
java数据结构 第11章--树结构实际应用 - 图13

11.2.4 赫夫曼树的代码实现

代码实现：

1.实际代码

  1. package huffmanTree;
  3. import java.util.ArrayList;
  4. import java.util.Collections;
  5. import java.util.List;
  6. public class HuffmanTree {
  7.     public static void main(String[] args) {
  8.         int arr[] = { 13, 7, 8, 3, 29, 6, 1 };
  9.         Node root = createHuffmanTree(arr);
  10.         //测试一把
  11.         preOrder(root); //
  12.     }
  13.     //编写一个前序遍历的方法
  14.     public static void preOrder(Node root) {
  15.         if(root != null) {
  16.             root.preOrder();
  17.         }else{
  18.             System.out.println("是空树，不能遍历~~");
  19.         }
  20.     }
  21.         // 创建赫夫曼树的方法
  22.     /**
  23.      *
  24.      * @param arr 需要创建成哈夫曼树的数组
  25.      * @return 创建好后的赫夫曼树的root 结点
  26.      */
  27.     public static Node createHuffmanTree(int[] arr) {
  28.         // 第一步为了操作方便
  29.         // 1. 遍历arr 数组
  30.         // 2. 将arr 的每个元素构成成一个Node
  31.         // 3. 将Node 放入到ArrayList 中
  32.         List<Node> nodes = new ArrayList<Node>();
  33.         for (int value : arr) {
  34.             nodes.add(new Node(value));
  35.         }
  36.         //我们处理的过程是一个循环的过程
  37.         while(nodes.size() > 1) {
  38.             //排序从小到大
  39.             Collections.sort(nodes);
  40.             System.out.println("nodes =" + nodes);
  41.             //取出根节点权值最小的两颗二叉树
  42.             //(1) 取出权值最小的结点（二叉树）
  43.             Node leftNode = nodes.get(0);
  44.             //(2) 取出权值第二小的结点（二叉树）
  45.             Node rightNode = nodes.get(1);
  46.             //(3)构建一颗新的二叉树
  47.             Node parent = new Node(leftNode.value + rightNode.value);
  48.             parent.left = leftNode;
  49.             parent.right = rightNode;
  50.             //(4)从ArrayList 删除处理过的二叉树
  51.             nodes.remove(leftNode);
  52.             nodes.remove(rightNode);
  53.             //(5)将parent 加入到nodes
  54.             nodes.add(parent);
  55.         }
  56.         //返回哈夫曼树的root 结点
  57.         return nodes.get(0);
  58.     }
  59. }
  60. // 创建结点类
  61. // 为了让Node 对象持续排序Collections 集合排序
  62. // 让Node 实现Comparable 接口
  63. class Node implements Comparable<Node> {
  64.     int value; // 结点权值
  65.     Node left; // 指向左子结点
  66.     Node right; // 指向右子结点
  67.     //写一个前序遍历
  68.     public void preOrder() {
  69.         System.out.println(this);
  70.         if(this.left != null) {
  71.             this.left.preOrder();
  72.         }
  73.         if(this.right != null) {
  74.             this.right.preOrder();
  75.         }
  76.     }
  77.     public Node(int value) {
  78.         this.value = value;
  79.     }
  80.     @Override
  81.     public String toString() {
  82.         return "Node [value=" + value + "]";
  83.     }
  84.     @Override
  85.     public int compareTo(Node o) {
  86. // TODO Auto-generated method stub
  87.         // 表示从小到大排序
  88.         return this.value - o.value;
  89.     }
  90. }

2.运行结果

nodes=[Node{value=1}, Node{value=3}, Node{value=6}, Node{value=7}, Node{value=8}, Node{value=13}, Node{value=29}]

第一次处理后[Node{value=6}, Node{value=7}, Node{value=8}, Node{value=13}, Node{value=29}, Node{value=4}]

Node{value=67}
Node{value=29}
Node{value=38}
Node{value=15}
Node{value=7}
Node{value=8}
Node{value=23}
Node{value=10}
Node{value=4}
Node{value=1}
Node{value=3}
Node{value=6}
Node{value=13}
Process finished with exit code 0

知识点补充

1.Java 中 Comparable 接口的意义和用法.
2.Java 在什么情况下要重写toString
3.Java基础之重写equals、hashCode和compareTo方法
4.java中foreach的用法
5.Java集合(二)：List列表