描述

此题是非常经典的入门题了。我记得第一次遇到此题是在课堂上，老师拿来讲“递归”的（哈哈哈）。同样的类型的题还有兔子繁殖的问题。大同小异。此题将用三个方法来解决，从入门到会做。考察知识：递归，记忆化搜索，动态规划和动态规划的空间优化。难度：一星

题解

方法一：递归

题目分析，斐波那契数列公式为：f[n] = f[n-1] + f[n-2], 初始值f[0]=0, f[1]=1，目标求f[n]看到公式很亲切，代码秒秒钟写完。

  1. public class Solution {
  2.     public int Fibonacci(int n) {
  3.         if(n<=1){
  4.             return n;
  5.         }else{
  6.             return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
  7.         }
  8.     }
  9. }

优点，代码简单好写，缺点：慢，会超时
时间复杂度：O(2^n)
空间复杂度：O(n) 递归栈的空间

方法二：记忆化搜索

拿求f[5] 举例剑指offer JZ07.斐波那契数列 （递归、动态规划、优化储存、持续优化）java实现 - 图1
通过图会发现，方法一中，存在很多重复计算，因为为了改进，就把计算过的保存下来。那么用什么保存呢？一般会想到map， 但是此处不用牛刀，此处用数组就好了。

  1. public class Solution {
  2.     public int Fibonacci(int n) {
  3.         int ans[]=new int[40];
  4.         ans[0]=0;
  5.         ans[1]=1;
  6.         for(int i=2;i<=n;i++){
  7.             ans[i]=ans[i-1]+ans[i-2];
  8.         }
  9.         return ans[n];
  10.     }
  11. }

时间复杂度：O（n）， 没有重复的计算
空间复杂度：O（n）和递归栈的空间

方法三：动态规划

虽然方法二可以解决此题了，但是如果想让空间继续优化，那就用动态规划，优化掉递归栈空间。方法二是从上往下递归的然后再从下往上回溯的，最后回溯的时候来合并子树从而求得答案。那么动态规划不同的是，不用递归的过程，直接从子树求得答案。过程是从下往上。

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

优化存储

发现计算f[5]的时候只用到了f[4]和f[3], 没有用到f[2]…f[0],所以保存f[2]..f[0]是浪费了空间。只需要用3个变量即可。

  1. public class Solution {
  2.     public int Fibonacci(int n) {
  3.         if(n == 0){
  4.             return 0;
  5.         }else if(n == 1){
  6.             return 1;
  7.         }
  8.         int sum = 0;
  9.         int two = 0;
  10.         int one = 1;
  11.         for(int i=2;i<=n;i++){
  12.             sum = two + one;
  13.             two = one;
  14.             one = sum;
  15.         }
  16.         return sum;
  17.     }
  18. }

时间复杂度：O（n）
空间复杂度：O（1）完美！

持续优化

1. 分析

观察上一版发现，sum 只在每次计算第 n 项的时候用一下，其实还可以利用 sum 存储第 n-1 项，例如当计算完 f(5) 时 sum 存储的是 f(5) 的值，当需要计算 f(6) 时，f(6) = f(5) + f(4)，sum 存储的 f(5)，f(4) 存储在 one 中，由 f(5)-f(3) 得到如图：
剑指offer JZ07.斐波那契数列 （递归、动态规划、优化储存、持续优化）java实现 - 图2
剑指offer JZ07.斐波那契数列 （递归、动态规划、优化储存、持续优化）java实现 - 图3
剑指offer JZ07.斐波那契数列 （递归、动态规划、优化储存、持续优化）java实现 - 图4
剑指offer JZ07.斐波那契数列 （递归、动态规划、优化储存、持续优化）java实现 - 图5
剑指offer JZ07.斐波那契数列 （递归、动态规划、优化储存、持续优化）java实现 - 图6

2. 代码

  1. public class Solution {
  2.     public int Fibonacci(int n) {
  3.         if(n == 0){
  4.             return 0;
  5.         }else if(n == 1){
  6.             return 1;
  7.         }
  8.         int sum = 1;
  9.         int one = 0;
  10.         for(int i=2;i<=n;i++){
  11.             sum = sum + one;
  12.             one = sum - one;
  13.         }
  14.         return sum;
  15.     }
  16. }

时间复杂度：O（n）

空间复杂度：O（1）非常完美！