源题目

https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/

123. 买卖股票的最佳时机 III

难度困难847
给定一个数组，它的第 _i 个元素是一支给定的股票在第 i _天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5] 输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1] 输出：0

提示：

• 1 <= prices.length <= 105
• 0 <= prices[i] <= 105

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有了前面两个问题的基础，我们首先想通过贪心解决这个问题。但是这个问题不行，因为有最多两比交易的限制。但是正因为如此这个问题也变得非常容易，我们可以参考第一个问题的解决思路。我们主要有这样几种状态buy1、buy2、sell1和sell2，涉及的状态方程为

b u y 1 = m a x ( b u y 1 , − p r i c e s [ i ] ) buy1 = max(buy1, -prices[i])buy1=max(buy1,−prices[i])

s e l l 1 = m a x ( s e l l 1 , b u y 1 + p r i c e s [ i ] ) sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i])sell1=max(sell1,buy1+prices[i])

b u y 2 = m a x ( b u y 2 , s e l l 1 − p r i c e s [ i ] ) buy2 = max(buy2, sell1 - prices[i])buy2=max(buy2,sell1−prices[i])

s e l l 2 = m a x ( s e l l 2 , b u y 2 + p r i c e s [ i ] ) sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i])sell2=max(sell2,buy2+prices[i])

然后就是考虑边界问题，很显然buy1[0]=-prices[0]，而sell1=0（相当于买入后再卖出）、buy2-prices[0]（相当于买入后再卖出再买入）、sell2=0（相当于买入后再卖出再买入再卖出）。最后我们只要只需要返回sell2即可，因为sell2>=sell1一定成立。

class Solution {
    /**
     * 动态规划一次遍历 
     * 时间复杂度O(n)
     * 空间复杂度O(1)
     * @param Integer[] $prices
     * @return Integer
     */
    function maxProfit($prices) {
        if(!$prices) return 0;
        $sell = [0, 0];
        $buy = [-$prices[0], -$prices[0]];//考虑边界问题
        foreach($prices as $p){
            $buy[0] = max($buy[0], -$p);//第一笔交易
            $sell[0] = max($sell[0], $buy[0] + $p);
            $buy[1] = max($buy[1], $sell[0] - $p);//第二笔交易
            $sell[1] = max($sell[1], $buy[1] + $p);
        }
        return $sell[1];
    }
}