8.1 几何必需位错密度计算

一般地，位错可以分为两类：（1）统计存储位错（Statistically stored dislocation, SSD），即含有相同数量的正负号伯氏矢量的位错对。由于 SSD 一般由均匀塑性变形产生，且只会造成位错核心周围区域发生畸变，不会造成明显的取向差改变，这种位错无法采用EBSD取向分析进行研究，除非从研究菊池谱信号强弱角度去分析。（2）几何必需位错（Geometrically necessary dislocation, GND），为了配合材料各部分的应变梯度并维持材料的连续性，需要GND维持不均匀塑性变形造成的晶面弯曲，因此可以通过测量取向的改变来研究GND密度。
GND计算方法可以参考这篇文章：W. Pantleon, Scripta Materialia 58 (2008) 994–997。首先，根据EBSD数据，计算晶格弯曲张量（Curvature tensor）：
（公式8-1）
其中表示沿着X，Y，Z方向的单位长度取向差梯度，但由于二维扫描，Z方向的取向差梯度无法获得。
Nye位错密度张量（dislocation density tensor）可以表达为：
，其中为克罗内克δ函数（Kronecker delta）（公式8-2）
由于未知，因此最终只有，，，和可以计算得到。
最后，根据滑移系中每种位错类型所引起的局部晶格弯曲不同，通过线性优化后，计算出每种位错类型对晶格弯曲张量的贡献，最终计算出位错密度。
如果滑移系不确定，可以根据文章L.S. Toth, et al. Acta Materialia 117 (2016) 35-42给出的下列公式简单计算GND位错密度：
（公式8-3）
在EBSDTool主界面中，点击“Plasticity”->“GND Density Evalution”，或直接点击按钮，打开图8-1左侧所示的“GND Density”界面，在这个界面中，用户先在左上角选择要分析的晶相，然后在给定的滑移系（“Slip System”）模块的滑移系列表中选择相应的滑移系，这里需要注意，目前滑移系的选择只针对FCC，BCC和HCP材料，其他晶体结构会提示“No available slip system!”，但可以输入柏氏矢量长度用公式8-3来计算。
这里以常规的FCC晶体为例，选择FCC全位错滑移系{111}<11-0>/2，此时软件根据晶格常数自动计算柏氏矢量长度，然后点击按钮，将其添加到列表框中；如果添加错误，也可以点击进行删除。点击“Dislocation Info”可以在matlab command window中显示当前选择的滑移系的信息。选择好滑移系后，点击“Calculate”对位错密度进行优化和计算，这个过程比较漫长。分析完之后，点击“Plot”按钮，可以得到位错密度分布图，如图8-1右侧所示。
在“Mapping Options”模块，用户可以选择绘制位错密度分布图（“Dislocation Density (um^-2)”），位错单位是，乘以就为常用的单位。也可以绘制位错密度张量（Dislocation Density Tensor）或晶格弯曲张量（Curvature Tensor）分布，如果不进行“Calculate”优化，则只能获得部分分量；反之，可以获得所有9个分量。图的显示修改与4.1节EBSD二维图绘制方向完全相同，不再详细介绍。
最后，点击“Save Data”可以将数据保存为“.mat”数据或者保存为文本数据。保存的“.mat”数据下次可以通过此界面的右上角按钮添加进来。也可以点击“Apply GND Density to EBSD Data”，将分析结果添加至主页数据表格中，进一步绘图和分析。

图8-1 GND密度计算