线性方程组2-秩与解空间

先简要回顾如何解线性方程组（判断有无解，以及有解时怎样写出全部解）。

设线性方程组有个未知数，个方程，即系数矩阵%2C%20b%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bk%7D#card=math&code=A%20%5Cin%20%5Cmathbf%7BM%7D%7Bk%20%5Ctimes%20n%7D%28%5Cmathbb%7BR%7D%29%2C%20b%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bk%7D&id=HJDDV). 增广矩阵#card=math&code=%28A%2C%20b%29&id=OeHvc)的秩等于系数矩阵的秩是有解的充分必要条件。当方程组有解时，将增广矩阵化成简化行阶梯形，找出主元，例如是主元，其中#card=math&code=r%3Dr%28A%2C%20b%29&id=MuBrJ)是增广矩阵的秩。这时用其它变量做自由变量，用自由变量表示出主元，就能写出全部解。

一个自然的问题是，当有解时，什么时候的解是唯一的？

答案是显然的，当且仅当%3Dr(A)%3Dn#card=math&code=r%28A%2C%20b%29%3Dr%28A%29%3Dn&id=adkip)时，方程组有唯一解。

另外我们有以下的观察：

1. 如果有两个不同的解，那么%3Db-b%3D%5Cmathbf%7B0%7D#card=math&code=A%28v_1%20-%20v_2%29%3Db-b%3D%5Cmathbf%7B0%7D&id=CpVqK), 即是的解。又如果是两个实数，满足, 则%20%3D%20c_1%20Av_1%20%2B%20c_2%20Av_2%20%3D%20c_1%20b%2B%20c_2%20b%3Db#card=math&code=A%28c_1%20v_1%20%2B%20c_2%20v_2%29%20%3D%20c_1%20Av_1%20%2B%20c_2%20Av_2%20%3D%20c_1%20b%2B%20c_2%20b%3Db&id=kp4dA), 即也是的解。从这两个事实，可以得到下面的：

定理1：设，又设是的解，互不相同；

(i) 对任意满足的常数, 也是的解。

(ii) 任意#card=math&code=v_i%20-%20v_j%2C%20%5C%3B%20%28i%2C%20j%20%5Cin%20%5C%7B1%2C%20%5Cldots%2C%20m%5C%7D%2C%20i%20%5Cneq%20j%29&id=bStVO)是的解。

1. 如果有两个不同的解, 则对任意常数, 也是解： %3Dt_1%20Au_1%20%2B%20t_2%20Au_2%3Dt_1%20%5Cmathbf%7B0%7D%2Bt_2%20%5Cmathbf%7B0%7D%3D%5Cmathbf%7B0%7D#card=math&code=A%28t_1%20u_1%20%2B%20t_2%20u_2%29%3Dt_1%20Au_1%20%2B%20t_2%20Au_2%3Dt_1%20%5Cmathbf%7B0%7D%2Bt_2%20%5Cmathbf%7B0%7D%3D%5Cmathbf%7B0%7D&id=d1vOT).

从这里我们提出下面的
定义：所谓线性空间，就是某个齐次线性方程组的全部的解——我们称解为”解向量”——组成的集合，附加一些其它性质：在线性空间中要有两种运算：向量加法以及数乘向量，这些运算要求运算后得到的结果还是在线性空间中（即”如果有两个不同的解, 则对任意常数, 也是解”），另外还要满足一些运算性质，例如加法交换律，结合律，乘法分配律等等。此处省略。

注意：(i) 因为零向量一定是的解，所以线性空间不会是空集。
(ii) 我们把也看出齐次线性方程组，这里系数矩阵与是零矩阵，假设都有行。
由此可见(对任意的非负整数自身就是一个线性空间。

定义：我们把 的全部解记作, 也称为 的核(kernel).

我们有下面的
定理2. 非齐次线性方程组 (即)的全部解（假设有解）可以写成, 其中是 的任意一个解。

下面从几何的角度来研究先看一些例子。我们用%2C%20%5Cldots#card=math&code=a%2C%20b%2C%20c%2C%20%5Cldots%2C%20a_i%2C%20b_i%5C%2C%20%28i%20%5Cin%20%5C%7B1%2C%202%2C%20%5Cldots%2C%20%5C%7D%29%2C%20%5Cldots&id=NCcaX)这些字母表示常数。

1. 先看 . 方程的解是-平面上的直线。更具体的例子，

的解是一个点%3D(-2%2C%202)#card=math&code=%28x_1%2C%20x_2%29%3D%28-2%2C%202%29&id=s2akp).
这个点是两条直线与 的交点。
这个方程组满足%3Dr(A)%3Dn%3D2#card=math&code=r%28A%2C%20b%29%3Dr%28A%29%3Dn%3D2&id=dPPpP). 所以有唯一的解。

相比之下，方程组的解是直线, 这里%3Dr(A%2C%20b)%3D1#card=math&code=r%28A%29%3Dr%28A%2C%20b%29%3D1&id=WU0as).
所以有无数个解。

1. 再看. 方程的解是（右手直角坐标系）空间中的一个平面。这个平面与向量#card=math&code=%5Cmathbf%7Bn%7D%3D%28a_1%2C%20a_2%2C%20a_3%29&id=Yluta)垂直（正交）。

特别，当时，平面是过原点，且垂直于的平面。
而平面与平面平行。

1. 更具体的例子：的解是三个平面的交。

它们交于一个点%3D(0%2C%20-2%2C%203)#card=math&code=%28x_1%2C%20x_2%2C%20x_3%29%3D%280%2C%20-2%2C%203%29&id=Va1jh). 这个方程组%3Dr(A)%3Dn%3D3#card=math&code=r%28A%2C%20b%29%3Dr%28A%29%3Dn%3D3&id=ZFwf0)，所以有唯一解。

而任取两个方程，例如取前2个，组成方程组 它的解是两个平面的交。这两个平面交于一条直线。我们通常就用这个方程组表示这条直线。也可以，例如用做自由变量，写出解
.
这种表示方法称为直线的参数方程。这个方程组%3Dr(A)%3D2%20%3Cn%3D3#card=math&code=r%28A%2C%20b%29%3Dr%28A%29%3D2%20%3Cn%3D3&id=a1HeP). 所以有无数个解。

1. 再看一个例子： 因为第2个方程是另外两个方程的和，所以这个方程组%3Dr(A)%3D2%3Cn%3D3#card=math&code=r%28A%2C%20b%29%3Dr%28A%29%3D2%3Cn%3D3&id=MCrlj), 所以有无数个解。它的解是直线
   从上面例3可知，%3D(-3%2C%204%2C%200)#card=math&code=%28x_1%2C%20x_2%2C%20x_3%29%3D%28-3%2C%204%2C%200%29&id=OTqBq)在这条直线上，而方程组的全部解是%3D(t%2C%20-2t%2C%20t)%3Dt(1%2C%20-2%2C%201)%2C%20%5C%3B%20t%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D#card=math&code=%28x_1%2C%20x_2%2C%20x_3%29%3D%28t%2C%20-2t%2C%20t%29%3Dt%281%2C%20-2%2C%201%29%2C%20%5C%3B%20t%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D&id=Y2h0M). （这也是一条直线。）请大家观察例3中的直线的参数方程与这两个解的关系。

如果方程组变成
则%3Dr(A)%3D1#card=math&code=r%28A%2C%20b%29%3Dr%28A%29%3D1&id=IfOkF)，依然有无数个解。但这时，所以解是平面.

注：熟知点，直线，平面的维数分别是. 请各位自行检验这些例子中的解的维数与的关系。

下面的定理解释了矩阵的秩的几何意义：

定理3：设是实矩阵，秩为%3Dr#card=math&code=r%28A%29%3Dr&id=GSTEf). 则齐次线性方程组的解，作为线性空间的维数，等于, 即.

其实还有更直接的解释，为此先定义向量的线性组合。设都是维列向量. 如果是任意的常数，我们把称为向的一个线性组合。

定义：我们把集合 都是实常数 记作span#card=math&code=%28%5Cmathbf%7Ba_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%7D%20%29&id=x6CGE), 并称之为”由向量生成的线性空间”。

如果我们把列向量排成一个矩阵 设的秩序为那么我们有下面的

定理4：%20%3D%20r#card=math&code=%5Cdim%20%5Cmathrm%7Bspan%7D%28%5Cmathbf%7Ba_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%7D%29%20%3D%20r&id=fVHtz).