对称1-对称双线性型

设是有限维实线性空间。一个定义在上的对称双线性型是满足下面条件的函数

%3A%20V%20%5Ctimes%20V%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%2C%0A#card=math&code=B%28~%2C~%29%3A%20V%20%5Ctimes%20V%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%2C%0A)

(i) 对称性 %3DB(w%2C%20v)%2C%20%5C%3B%20%5Cforall%20v%2C%20w%20%5Cin%20V#card=math&code=B%28v%2C%20w%29%3DB%28w%2C%20v%29%2C%20%5C%3B%20%5Cforall%20v%2C%20w%20%5Cin%20V);

(ii) 双线性 %3Dc_1%20B(v_1%2C%20w)%20%2B%20c_2%20B(v_2%2C%20w)%2C%20%5C%3B%20%5Cforall%20c_1%2C%20c_2%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%2C%20%5Cforall%20v%2C%20w%20%5Cin%20W#card=math&code=B%28c_1%20v_1%20%2B%20c_2%20v_2%2C%20w%29%3Dc_1%20B%28v_1%2C%20w%29%20%2B%20c_2%20B%28v_2%2C%20w%29%2C%20%5C%3B%20%5Cforall%20c_1%2C%20c_2%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%2C%20%5Cforall%20v%2C%20w%20%5Cin%20W).

典型的对称双线性函数是上的内积。内积除了有对称性与双线性，还有正定性，

(iii) 正定性 %5Cgeq%200#card=math&code=B%28v%2C%20v%29%5Cgeq%200), 而且等号成立当且仅当.

对称双线性型有以下概念值得介绍：

定义1：双线性型的根 (radical) 定义为%3D%5C%7Bw%20%5Cin%20V%20%5Cmid%20B(v%2C%20w)%3D0%2C%20%5Cforall%20v%20%5Cin%20V%5C%7D#card=math&code=%5Cmathrm%7Brad%7D%28B%29%3D%5C%7Bw%20%5Cin%20V%20%5Cmid%20B%28v%2C%20w%29%3D0%2C%20%5Cforall%20v%20%5Cin%20V%5C%7D). 如果rad%3D%5C%7B%5Cmathbf%7B0%7D%5C%7D#card=math&code=%28B%29%3D%5C%7B%5Cmathbf%7B0%7D%5C%7D), 我们说是非退化的(nondegenrate).

定义2：设有向量, 矩阵%20%5Cbig)#card=math&code=G%3D%20%5Cbig%28%20B%28v_i%2C%20v_j%29%20%5Cbig%29)称为这些向量的Gram矩阵。如果， 且这些向量的Gram矩阵是单位矩阵，我们称是#card=math&code=%28V%2C%20B%29)的一个标准正交基。

注意：如果是的一个基，则是对称的当且仅当Gram矩阵是对称的。

定义3：向量称为关于正交的，如果%3D0#card=math&code=B%28v%2C%20w%29%3D0). 如果是子空间，则

%20%3D%200%2C%20%5Cforall%20w%20%5Cin%20W%5C%7D%0A#card=math&code=W%5E%5Cperp%20%3D%20%5C%7Bv%20%5Cmid%20B%28v%2C%20w%29%20%3D%200%2C%20%5Cforall%20w%20%5Cin%20W%5C%7D%0A)

称为关于的正交补子空间。

如果%2C%20(w_j)#card=math&code=%28v_i%29%2C%20%28w_j%29)都是 的基，过度矩阵为，即%20%3D%20(v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_m)%20T#card=math&code=%28w_1%2C%20%5Cldots%2C%20w_m%29%20%3D%20%28v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_m%29%20T), 那么两个基的Gram矩阵会有如下的关系

%20%3D%20T%5E%5Ctop%20G_v%20T.%20%0A#card=math&code=G_w%20%3D%20%5Cbig%28v_iT%2C%20v_jT%5Cbig%29%20%3D%20T%5E%5Ctop%20G_v%20T.%20%0A)

一般地，如果 是可逆矩阵，而且有, 我们称是合同(congruent)的。我们把合同的实对称双线性型看成是同一类。在合同的意义下分类对称双线性型，早在1850年代就有Sylvester用他的惯性定理(law of inertia)给出答案。惯性定理说，对任意实对称矩阵，都能找到一个正交矩阵，使得 是对角矩阵，而且 的对角元中，正数，负数与0的数目，由唯一确定。其中正数与负数的数目，被称为 的正、负惯性指数，通常被表示为与. 于是0的数目等于, 其中是的阶。当时，被称为非退化的。两个阶实对称矩阵是合同的，当且仅当它们的正、负惯性指数都相等。