微积分中标准正交基的例子
设
%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BR%7D#card=math&code=%28a%2C%20b%29%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BR%7D&id=euvbO)是一个固定的开区间。对于定义在#card=math&code=%28a%2C%20b%29&id=KPCYN)上，取值在
上的函数
, 我们定义
%20%3D%20%5Cint_a%5Eb%20f(x)%5Coverline%7Bg(x)%7D%5C%2C%20dx%0A#card=math&code=%28f%5Cmid%20g%29%20%3D%20%5Cint_a%5Eb%20f%28x%29%5Coverline%7Bg%28x%29%7D%5C%2C%20dx%0A&id=Gy4kz)
可以直接验证这是一个内积，即满足对称，双线性，正定性。
我们考虑两个例子：
- Fourier级数. 如果
是整数，直接计算可知，对任意
,
这里
是周期.
所谓Fourier级数，即把满足一定条件的，定义在#card=math&code=%28a%2C%20b%29&id=QMv6D)上的函数#card=math&code=f%28x%29&id=mXeGY)，写成#card=math&code=%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20c_n%20%5Cexp%28in%20%5Comega%20x%29&id=G9rw9)的样子。系数称为Fourier系数，当%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20c_n%20%5Cexp(i%20n%20%5Comega%20x)#card=math&code=f%28x%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20c_n%20%5Cexp%28i%20n%20%5Comega%20x%29&id=L6Ou5)时，它们由内积
给出。此时”勾股定理”成为了Parseval等式
%3D%20%5Csum%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20c_n%5E2.%0A#card=math&code=%28f%5Cmid%20f%29%3D%20%5Csum%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20c_n%5E2.%0A&id=Qz1EW)
结论：满足一定条件的周期是
的周期函数，在它们的一个周期区间上，都能展开成Fourier级数。在这个周期区间上，全部周期是
的函数，构成一个线性空间，并且可以定义如(2)式的内积。而
%5C%7D%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty#card=math&code=%5C%7BT%5E%7B-1%2F2%7D%20%5Cexp%28i%20n%20%5Comega%20x%29%5C%7D%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty&id=WzolV)构成了关于这个内积的标准正交基。
- Hilbert在研究用多项式逼近闭区间上的连续函数时，引入(1)中的内积。我们看区间
的情形：
多项式是
的线性组合，其中规定
. 则
%3A%3D%20%5Cint0%5E1%20x%5Ei%20x%5Ej%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%2Bj%2B1%7D.%20%0A#card=math&code=%28x%5Ei%20%5Cmid%20x%5Ej%29%3A%3D%20%5Cint_0%5E1%20x%5Ei%20x%5Ej%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%2Bj%2B1%7D.%20%0A&id=xyNFg) 此处
. Hilbert研究了
的Gram矩阵，今天人们称其为Hilbert矩阵.
注意这里行，列都是从0开始数，而不是从1开始。
计算Hilbert矩阵的行列式，以及其逆矩阵，是有趣的问题。但我们这里按下不表。我们现在介绍Legendre（勒让德）多项式. 首先我们把区间放大到
. 对基
作Gram-Schmidt正交化，得到
%26%3Dx%5E0%3D1%2C%20%5C%5C%0Aq_1(x)%26%3Dx-0%3Dx%2C%20%5C%5C%0Aq_2(x)%26%3Dx%5E2-%5Cfrac%7B(x%5E2%5Cmid%201)%7D%7B(1%5Cmid%201)%7D%5Ccdot%201%3Dx%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%20%5C%5C%0Aq_3(x)%26%3Dx%5E3-%5Cfrac%7B(x%5E3%5Cmid%20x)%7D%7B(x%5Cmid%20x)%7Dx%20%3D%20x%5E3-%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7Dx%2C%20%5C%5C%0A%26%5Cvdots%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0Aq_0%28x%29%26%3Dx%5E0%3D1%2C%20%5C%5C%0Aq_1%28x%29%26%3Dx-0%3Dx%2C%20%5C%5C%0Aq_2%28x%29%26%3Dx%5E2-%5Cfrac%7B%28x%5E2%5Cmid%201%29%7D%7B%281%5Cmid%201%29%7D%5Ccdot%201%3Dx%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%20%5C%5C%0Aq_3%28x%29%26%3Dx%5E3-%5Cfrac%7B%28x%5E3%5Cmid%20x%29%7D%7B%28x%5Cmid%20x%29%7Dx%20%3D%20x%5E3-%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7Dx%2C%20%5C%5C%0A%26%5Cvdots%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A&id=SacDj)
习惯的做法不是让这些多项式除以它们的范数，而是”标准化”，使得Legendre多项式在
的值，等于
. 由此得到下面的多项式
%20%26%3D1%2C%20%5C%5C%0Ap_1(x)%20%26%3Dx%2C%20%5C%5C%0Ap_2(x)%20%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(3x%5E2-1)%2C%20%5C%5C%0Ap_3(x)%20%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(5x%5E3-3x)%2C%20%5C%5C%0A%26%20%5Cvdots%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ap_0%28x%29%20%26%3D1%2C%20%5C%5C%0Ap_1%28x%29%20%26%3Dx%2C%20%5C%5C%0Ap_2%28x%29%20%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%283x%5E2-1%29%2C%20%5C%5C%0Ap_3%28x%29%20%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%285x%5E3-3x%29%2C%20%5C%5C%0A%26%20%5Cvdots%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A&id=cJp14)
- （第一类）Chebyshev多项式
#card=math&code=T_n%28x%29&id=YGOHD). 它们由公式
%3D%5Ccos%20n%5Ctheta%0A#card=math&code=T_n%28%5Ccos%20%5Ctheta%29%3D%5Ccos%20n%5Ctheta%0A&id=W5pzc) 决定。但是也可以由多项式基
在区间
上，对下面的内积
%3A%3D%5Cint_0%5E1%20%5Cfrac%7Bf(x)%5Coverline%7Bg(x)%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D%5C%2C%20dx%0A#card=math&code=%28f%5Cmid%20g%29%3A%3D%5Cint_0%5E1%20%5Cfrac%7Bf%28x%29%5Coverline%7Bg%28x%29%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7D%5C%2C%20dx%0A&id=wDvcP)
作Gram-Schmidt正交化得到。由熟知的三角函数公式，我们可以写出头几个Chebyshev多项式
%20%26%3D1%2C%20%5C%5C%0AT_1(x)%20%26%3Dx%2C%20%5C%5C%0AT_2(x)%20%26%3D2x%5E2-1%2C%20%5C%5C%0AT_3(x)%20%26%3D%204x%5E3-3x.%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0AT_0%28x%29%20%26%3D1%2C%20%5C%5C%0AT_1%28x%29%20%26%3Dx%2C%20%5C%5C%0AT_2%28x%29%20%26%3D2x%5E2-1%2C%20%5C%5C%0AT_3%28x%29%20%26%3D%204x%5E3-3x.%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A&id=EJubh)
