在微积分中有一个很重要的对称矩阵，以数学家Hesse之名而为人所知，即Hessian矩阵。简介如下。
设
是一个
变量函数，且在定义域
上到处都有二阶连续偏导数。这种函数有一个很好的性质：偏导数可以交换顺序！如果用
#card=math&code=%5Cmathbf%7Bx%7D%3D%28x_1%2C%20%5Cldots%2C%20x_n%29)表示自变量，我们把矩阵
#card=math&code=Hf%20%3D%20%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20f%7D%7B%5Cpartial%20x_i%20%5Cpartial%20x_j%7D%29)称为
的Hessian矩阵。因为
所以
是对称矩阵。特别，在任何一个点
, 矩阵
%20%3D%20(%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20f%7D%7B%5Cpartial%20xi%20%5Cpartial%20x_j%7D)%5Cbig%5Cvert%7B%5Cmathbf%7Bx%3Dx%7D0%7D#card=math&code=Hf%28x_0%29%20%3D%20%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20f%7D%7B%5Cpartial%20x_i%20%5Cpartial%20x_j%7D%29%5Cbig%5Cvert%7B%5Cmathbf%7Bx%3Dx%7D_0%7D)是实对称矩阵。
熟知这个矩阵的行列式称为的Jacobi行列式，在积分换元公式中很有用。不过我们想介绍Hessian矩阵在判断的极值的应用。有下面这个好用的
定理：设
是的一个驻点（即所有一阶偏导数都为零），并且函数在的某一邻域内有连续的二阶偏导数。那么
(1) 如果
#card=math&code=Hf%28%5Cmathbf%7Bx%7D_0%29)是严格正定的，那么
是的一个严格极小值点；
(2) 如果#card=math&code=Hf%28%5Cmathbf%7Bx%7D_0%29)是严格负定的，那么是的一个严格极大值点；
(3) 如果#card=math&code=Hf%28%5Cmathbf%7Bx%7D_0%29)是不定的，那么不是的极值点。
最直接的证明方法，是用多变量函数的Taylor展开。
