我们讨论实反对称矩阵，即满足
%2C%20A%5E%5Ctop%20%3D%20-A#card=math&code=A%20%5Cin%20%5Cmathrm%7BM%7D_n%28%5Cmathbb%7BR%7D%29%2C%20A%5E%5Ctop%20%3D%20-A). 首先有下述明显的性质:
Proposition 1. 如果
是奇数，
是阶实反对称矩阵，则
.
这是因为
%3D%5Cdet%20(A%5E%5Ctop)%3D%5Cdet%20(-A)%3D(-1)%5En%20%5Cdet%20(A)%3D-%5Cdet%20(A)#card=math&code=%5Cdet%28A%29%3D%5Cdet%20%28A%5E%5Ctop%29%3D%5Cdet%20%28-A%29%3D%28-1%29%5En%20%5Cdet%20%28A%29%3D-%5Cdet%20%28A%29).
所以教材一般重点讨论偶数阶实反对称矩阵.
Proposition 2. 反对称矩阵的对角元都等于零.
这是因为对角元在矩阵转置时不变.
Proposition 3. 反对称矩阵的特征值是纯虚数（包括零）.
证：设
. 两边取复共轭，得
. 由于是实矩阵，故
. 于是
#card=math&code=v%5E%5Ctop%20A%20%5Cbar%7Bv%7D%20%3D%20v%5E%5Ctop%20%5Cbar%7B%5Clambda%7D%20%5Cbar%7Bv%7D%3D%5Cbar%7B%5Clambda%7D%20%28v%5E%5Ctop%20%5Cbar%7Bv%7D%29). 再者，
%3D-v%5E%5Ctop%20A%20%5Cbar%7Bv%7D%20%3D%20v%5E%5Ctop%20(-A)%5Cbar%7Bv%7D%20%3D%20v%5E%5Ctop%20A%5E%5Ctop%20%5Cbar%7Bv%7D%20%3D%20(Av)%5E%5Ctop%20%5Cbar%7Bv%7D%20%3D%20(%5Clambda%20v)%5E%5Ctop%20%5Cbar%7Bv%7D%3D%5Clambda%20v%5E%5Ctop%20%5Cbar%7Bv%7D.%0A#card=math&code=-%5Cbar%7B%5Clambda%7D%28v%5E%5Ctop%20%5Cbar%7Bv%7D%29%3D-v%5E%5Ctop%20A%20%5Cbar%7Bv%7D%20%3D%20v%5E%5Ctop%20%28-A%29%5Cbar%7Bv%7D%20%3D%20v%5E%5Ctop%20A%5E%5Ctop%20%5Cbar%7Bv%7D%20%3D%20%28Av%29%5E%5Ctop%20%5Cbar%7Bv%7D%20%3D%20%28%5Clambda%20v%29%5E%5Ctop%20%5Cbar%7Bv%7D%3D%5Clambda%20v%5E%5Ctop%20%5Cbar%7Bv%7D.%0A)
故
. 即
.
这个性质与实对称矩阵相应的性质很像（实对称矩阵的特征值都是实数）。实对称矩阵还有一个特别的性质——属于不同特征值的特征向量互相正交。但是实反对称矩阵没有这个性质：考虑矩阵
. 它的特征值是
. 相应的单位特征向量是
(%5Csqrt%7B-1%7D%2C%201)%5E%5Ctop%2C%20v%7B-%5Csqrt%7B-1%7D%7D%3D(1%2F%5Csqrt%7B2%7D)(1%2C%20%5Csqrt%7B-1%7D)%5E%5Ctop.%0A#card=math&code=v%7B%5Csqrt%7B-1%7D%7D%3D%281%2F%5Csqrt%7B2%7D%29%28%5Csqrt%7B-1%7D%2C%201%29%5E%5Ctop%2C%20v_%7B-%5Csqrt%7B-1%7D%7D%3D%281%2F%5Csqrt%7B2%7D%29%281%2C%20%5Csqrt%7B-1%7D%29%5E%5Ctop.%0A)
这两个特征向量不是正交的. 但是矩阵
#card=math&code=U%3D%28v%7B%5Csqrt%7B-1%7D%7D%2C%20v%7B-%5Csqrt%7B-1%7D%7D%29)是unitary的，即
, 其中
是
的共轭转置.
Corollary 1. 反对称矩阵的非零特征值成对出现：如果
是特征值，
是非零实数，则
也是特征值.
这是因为反对称矩阵的对角元都是零，所以其trace为零. 而trace等于所有特征值的和.
Proposition 4：设
%2C%20B(%5Csim%2C%20%5Csim)#card=math&code=A%28%5Csim%2C%5Csim%29%2C%20B%28%5Csim%2C%20%5Csim%29)都是有限维实线性空间
上的双线性形, 其中是反对称的，而
是对称的. 则对的任意一个基
#card=math&code=%28v_i%29), 矩阵
%20%5Cbig)#card=math&code=%5Cbig%28A%28v_i%2C%20v_j%29%20%5Cbig%29)是反对称的，
%20%5Cbig)#card=math&code=%5Cbig%28B%28v_i%2C%20v_j%29%20%5Cbig%29)是对称的. 反之，所有的实对称与实反对称矩阵都可以这样得到.
证：第一部分是自明的；第二部分可以这样看: 如果
是对称矩阵，则
%20%5Cmapsto%20x%5E%5Ctop%20S%20y#card=math&code=%28x%2C%20y%29%20%5Cmapsto%20x%5E%5Ctop%20S%20y)是一个对称双线性形. 同理，如果是反对称矩阵，则%5Cmapsto%20x%5E%5Ctop%20A%20y#card=math&code=%28x%2C%20y%29%5Cmapsto%20x%5E%5Ctop%20A%20y)是一个反对称双线性形. 如所欲证.
总结：实反对称矩阵与实对称矩阵有很多类似的性质，但也有本质不同。实对称矩阵的特征值都是实数，而且属于不同特征值的特征向量互相正交，这使得实对称矩阵一定可以对角化，对角化可以通过正交矩阵来实现；相比之下，实反对称矩阵的特征值都是纯虚数或零，属于不同特征值的特征向量不必互相正交，所以实反对称矩阵一定不能相似到实对角矩阵，但是可以通过一个unitary矩阵相似到一个复对角矩阵，对角元都是纯虚数或零.
