投影2-投影的代数刻画

正交投影的定义，用标准正交基，很容易给出。另外也有几何刻画，由下面的命题给出：

命题：设是欧几里得空间的真子空间。设是在上的正交投影。则当且仅当

证明的关键是，按照定义，%20%5Cin%20W%5E%5Cperp#card=math&code=v%20-%20P_W%28v%29%20%5Cin%20W%5E%5Cperp&id=cbl8u)，即减去它在上的分量之后，剩下的向量 与 #card=math&code=P_W%28v%29&id=DBOVZ)正交。

正交投影的代数刻画则由下面的定义给出：

定义：线性变换如果满足

(i) (幂等 idempotent) ;

(ii) (对称 symmetric) ,

则称为一个正交投影。如果只有幂等性质，则称为斜投影。

下面解释如何从代数定义，得到正交投影的几何性质。由于, 则的特征值只有.
设分别是的特征值为0， 1的子空间，则.
而%3D%20x%5E%5Ctop%20P%5E%5Ctop%20y%20%3D%20x%5E%5Ctop%20P%20y%3D(x%2C%20Py)%2C%20%5C%3B%20%20%5Cforall%20x%2C%20y%20%5Cin%20V#card=math&code=P%5E%5Ctop%20%3D%20P%20%5CLongrightarrow%20%28Px%2C%20y%29%3D%20x%5E%5Ctop%20P%5E%5Ctop%20y%20%3D%20x%5E%5Ctop%20P%20y%3D%28x%2C%20Py%29%2C%20%5C%3B%20%20%5Cforall%20x%2C%20y%20%5Cin%20V&id=md9ns).
这里向量的内积定义为

从上面的推导不难看出就是中沿着到的正交投影，即.

例子：矩阵满足. 而且.

下面看矩阵容易看出这是从平面到y-轴的投影。
这个例子可以推广如下：设是欧几里得空间，任取一个单位列向量 再记则是从到span%22%20aria-hidden%3D%22true%22%3E%0A%20%3Cuse%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMAIN-28%22%20x%3D%220%22%20y%3D%220%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%20%3Cuse%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMATHI-3B1%22%20x%3D%22389%22%20y%3D%220%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%20%3Cuse%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMAIN-29%22%20x%3D%221030%22%20y%3D%220%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%3C%2Fg%3E%0A%3C%2Fsvg%3E#card=math&code=%28%5Calpha%20%29&id=NOKuZ) 的正交投影。（由此可知对称矩阵的特征值是0 (重数是 n-1）与 (重数是1）. 相应地特征子空间是（正交补）.

更一般地，设是非零子空间。 如果已知则先用Schmidt正交化，求出 的一个标准正交基把它们排成一个矩阵则矩阵就是从到的正交投影矩阵。矩阵的特征子空间是