此处给出两个例子，旨在解释几何与代数方法各自的优点。
设
是
中两条给定的异面直线。求：
(1) 给定点
，且不在两条直线上。求过点，且与都相交的直线的方程；
(2) 的公垂线方程。
解：两例的解法类似，都是用”中的直线可以由两个平面相交来给出”。
(1) 点与直线分别确定平面
. 平面的交线就是所求的直线。由于异面，平面 不会平行。
(2) 假设已经找到两个平行的平面
，使得
. 设
是过
且垂直于
的平面，又设
是过
, 且垂直于
的平面。则交线
就是所求的公垂线。
问题在于如何确定平面. 取点
, 记
分别是的方向向量。因为公垂线同时垂直于
, 故可取
为公垂线的方向向量(所以
).
所以
是过点
, 以
为法向量的平面(
), 而平面包含点
, 平行于向量
; 平面 包含点
, 平行于向量
. 这样，所有平面都完全确定了。
如果要写出这些平面的方程，用行列式较为简便，用点法式反而不方便。当然，展开行列式去计算平面的一般方程时，计算量与求点法式方程一样。
注：第(1)题从代数的角度，有以下推广：设
是有限维线性空间，
是中两个不同的点，
是两个真子空间。定义
用类似的方法定义
. 我们称
是的两个仿射子空间。（注意其中一个可以是原点）
假设
%20%20%5Ccap%20(P_2%20%2B%20W_2)%20%3D%5Cemptyset#card=math&code=%28P_1%20%2B%20W_1%29%20%20%5Ccap%20%28P_2%20%2B%20W_2%29%20%3D%5Cemptyset). 求的一个仿射子空间
, 使得
%20%5Cneq%20%5Cemptyset%2C%20%5C%3B%20i%20%3D%201%2C%202#card=math&code=A%20%5Ccap%20%28P_i%20%2B%20W_i%29%20%5Cneq%20%5Cemptyset%2C%20%5C%3B%20i%20%3D%201%2C%202).
用上面的思路很容易解答——本质上这是一个构造线性方程组的问题。
