一、行列式 determinant
- 2, 3阶行列式
- n阶行列式
- 性质
- 按行展开
- 克莱默法则 Cramer’s rule
线性代数： 第一个，也是最基本最重要的内容，是学会解线性方程组（二元／三元／有限多个变量的一次方程组）(线性 = 一次)
例：
一元一次方程
鸡兔同笼问题：
只鸡，
只兔子 
二元一次方程组
相对应：
是一元二次方程
直线的方程: 
过点(1, 1), 斜率
.
又例如，解”鸡兔同笼”方程组 
, 即求这两条直线的交点坐标.
希望大家既学会解方程组的计算方法，也能理解／知道几何的意义.
期末总评 = 平时成绩 30% + 期末考 70% （没有期中考）
第1，2周的作业，在第三周上课时交，做课本习题，教到哪里做到哪里。
作业不用抄题，但要写题号。以及姓名与学号。每人做的题目数量不必一样.
作业要有必要解题过程，不能直接写答数（除了算逆序数）
现在讲行列式：代数定义很啰嗦，但是有很漂亮的几何解释。
Determinants in 
and 
.
The “det” (determinant) is a function. The input of this function (variable) is an 
matrix (in our case, all entries are numbers), and the output is a number.
注意：1阶行列式的例子：
(由于很容易与绝对值混淆，很少有人考虑一阶行列式)
In the 
case:
In the 
case: 先看一个例子：
指行列式中第
行，第
列的元素，或者说，第
#card=math&code=%28i%2C%20j%29&id=HjplA)位置的元素.
例：
行列式的(主)对角线：指从左上角到右下角这一条； 从左下到右上的叫”副对角线”（”次对角线”“第二对角线”）
一般定义：
%7B3%20%5Ctimes%203%7D%20%3D%26%2B%20a%7B11%7Da%7B22%7Da%7B33%7D%20%2B%20a%7B12%7Da%7B23%7Da%7B31%7D%20%2B%20a%7B13%7Da%7B21%7Da%7B32%7D%20%5C%5C%20%26-%20a%7B31%7Da%7B22%7Da%7B13%7D-a%7B32%7Da%7B23%7Da%7B11%7D-a%7B33%7Da%7B21%7Da%7B12%7D%20%5C%5C%20%0A%3D%26%2B%20a%7B11%7Da%7B22%7Da%7B33%7D%20%2B%20a%7B12%7Da%7B23%7Da%7B31%7D%20%2B%20a%7B13%7Da%7B21%7Da%7B32%7D%20%5C%5C%20%0A%26-%20a%7B13%7Da%7B22%7Da%7B31%7D-a%7B11%7Da%7B23%7Da%7B32%7D-a%7B12%7Da%7B21%7Da%7B33%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Baligned%7D#card=math&code=%5CLARGE%20%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cdet%20%28a%7Bij%7D%29%7B3%20%5Ctimes%203%7D%20%3D%26%2B%20a%7B11%7Da%7B22%7Da%7B33%7D%20%2B%20a%7B12%7Da%7B23%7Da%7B31%7D%20%2B%20a%7B13%7Da%7B21%7Da%7B32%7D%20%5C%5C%20%26-%20a%7B31%7Da%7B22%7Da%7B13%7D-a%7B32%7Da%7B23%7Da%7B11%7D-a%7B33%7Da%7B21%7Da%7B12%7D%20%5C%5C%20%0A%3D%26%2B%20a%7B11%7Da%7B22%7Da%7B33%7D%20%2B%20a%7B12%7Da%7B23%7Da%7B31%7D%20%2B%20a%7B13%7Da%7B21%7Da%7B32%7D%20%5C%5C%20%0A%26-%20a%7B13%7Da%7B22%7Da%7B31%7D-a%7B11%7Da%7B23%7Da%7B32%7D-a%7B12%7Da%7B21%7Da_%7B33%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Baligned%7D&id=aMqy8).
共有 
项
习题：验证性质3: 例如若头尾两行成比例: 
%20%3D%20k(a%7B31%7D%2C%20a%7B32%7D%2C%20a%7B33%7D)#card=math&code=%28a%7B11%7D%2C%20a%7B12%7D%2C%20a%7B13%7D%29%20%3D%20k%28a%7B31%7D%2C%20a%7B32%7D%2C%20a_%7B33%7D%29&id=WJDfh), 按照上面的定义公式，行列式=0.
%7B3%5Ctimes%203%7D%20%3D%20%5Csum%7Bj1%20j_2%20j_3%7D%20(-1)%5E%7Bt(j_1j_2%20j_3)%7D%20a%7B1j1%7D%20a%7B2j2%7D%20a%7B3j3%7D#card=math&code=%5Cdet%28a%7Bij%7D%29%7B3%5Ctimes%203%7D%20%3D%20%5Csum%7Bj1%20j_2%20j_3%7D%20%28-1%29%5E%7Bt%28j_1j_2%20j_3%29%7D%20a%7B1j1%7D%20a%7B2j2%7D%20a%7B3j_3%7D&id=yoKGw), 这里
取遍123的六个全排列.
the order/arrangement for the row-indices, are always 
. Look at the arrangement for column-indices.
with +: 123, 231, 312;
the number 
of reverse ordering (逆序数) are (respectively) 0, 2, 2，都是偶数；
with 
: 321, 132, 213.
%20%3D%203%2C%20%5C%3B%20t(132)%3D1%2C%20%5C%3B%20t(213)%3D1#card=math&code=t%28321%29%20%3D%203%2C%20%5C%3B%20t%28132%29%3D1%2C%20%5C%3B%20t%28213%29%3D1&id=QdzGL) ，都是奇数。
The key point is: how many times of reverse-ordering in this full permutation?
A full permutaion in 
digits, is an arrangement for the numbers 
.
Example: n=4. 1234, 3421, 3214, 4312, in total 4!=24.
. 12354, 43251, 35124, etc… , in total 5! = 120.
By a reverse ordering (in a full permutation) we mean that the entries in the 
-th and 
-th positions, (i<j), say 
and 
, satisfying 
.
Exercise: 1. compute the total reverse-ordering: 365214 (n=6), 57843126 (n=8)
t(365214) = 2+4+3+1 = 10, t(57843126) = 4+5+5+3+2=19.
- 写出4阶行列式中，含有因子
的项。
t(1324)=1, t(1342)=2
An example of a 3
3 determinant:
%2B8%2B0-4-(-16)-0%3D%20%20-4#card=math&code=%5Cdet%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202%20%26%200%20%26%201%20%5C%5C%201%20%26%20-4%20%26%20-1%20%5C%5C%20-1%20%26%208%20%26%203%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3D%20%28-24%29%2B8%2B0-4-%28-16%29-0%3D%20%20-4&id=bS5Mz).
determinants in 
case. 
%7Bn%20%5Ctimes%20n%7D#card=math&code=%28a%7Bij%7D%29_%7Bn%20%5Ctimes%20n%7D&id=ug9xf).
一个
阶行列式，应该有
项，每一项都由
个数乘起来，其中一半的项带正号，另一半带负号. 我们可以模仿3阶的情形，写出一般n阶行列式的定义
is a signed-sum (algebraic sum) of 
terms, these terms can be formed as follows.
- use the normalization on the row-indices such that in all terms, the row-indices are in the natural ordering 1234…n. (
). - Then, according to the number of reverse-ordering in the column-indices, put a
sign before each term. + for even reverse-ordering, - for odd reverse-ordering.
Usually we write in the following way:
%20%3D%20%5Csum%20(-1)%5E%7Bt(j1%20j_2%20%5Cldots%20j_n)%7D%20a%7B1j1%7Da%7B2j2%7D%20%5Cldots%20a%7Bn%20jn%7D#card=math&code=%5Cdet%28a%7Bij%7D%29%20%3D%20%5Csum%20%28-1%29%5E%7Bt%28j1%20j_2%20%5Cldots%20j_n%29%7D%20a%7B1j1%7Da%7B2j2%7D%20%5Cldots%20a%7Bn%20j_n%7D&id=qCTXa), where 
is a full permutation of 
. The summation runs through all full permutation of 
. So there are in total 
terms.
Concluding remarks:
- We can also define the determinant by normalizing the column-indices, and looking at the reverse-ordering in the row-indicies.
%20%3D%20%5Csum%20(-1)%5E%7B%5Ctau(i1%20i_2%20%5Cldots%20i_n)%7D%20a%7Bi11%7Da%7Bi22%7D%20%5Cldots%20a%7Bin%20n%7D#card=math&code=%5Cdet%28a%7Bij%7D%29%20%3D%20%5Csum%20%28-1%29%5E%7B%5Ctau%28i1%20i_2%20%5Cldots%20i_n%29%7D%20a%7Bi11%7Da%7Bi22%7D%20%5Cldots%20a%7Bi_n%20n%7D&id=EX1cw), where 
is a full permutation of 
. - In other words, the rows and columns in a determinant are “symmetric”, they are equally important.
- The computation for determinants is by using the elementary row/column transformations to reduce to an upper-/lower-triagular determinants.
(1) Switching once, then introducing one minus sign.
(2) Multiplying a constant to each row/column, then we should also multiply this constant to the det.
(3) the third kind of elementary transformation does not change the determinant. - The elementary column transformations are defined similarly as elementary row transformations.
- An upper (resp. lower) triangular matrix is a square matrix such that if
(resp. 
), then 
.
. 
. - The triangular matrix has determinant equal to the product of all its diagonal entries.
一个
阶行列式
具有下面的性质：
的某一行所有元素都乘以一个常数
，等于用
去乘以这个行列式: 
。因此，如果行列式中某一行的所有元素有公因子，可以把公因子提到行列式外面。 - （”拆开”行列式）如果
的某一行的元素都能够写成两个数的和，我们可以把
拆开成两个行列式的和：这里举一个3阶行列式的例子： 
下面讲的性质，能够推出行列式等于0，计算时很好用： - 如果行列式有两行成比例，则行列式等于零。特别，如果
(1) 行列式有一行全为零 （此时比例系数是0）；
或者
(2) 行列式有两行完全相同. (此时比例系数是1)
例: 
. 
更一般，例如三阶行列式，头尾两行成比例。
- (3的推论) 对换
的两行，得到的行列式等于
.
例：
- 三角形的行列式，它的值等于全部对角线元素的乘积.
例：上三角行列式 
特别，对角行列式： 
%20%7C%3D%20%5Cleft%20%5Cvert%5Cbegin%7Bmatrix%7Da%7B11%7D%20%26%20%5Ccdots%20%26%200%5C%5C%20%5Cvdots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cvdots%20%5C%5C%200%20%26%20%5Ccdots%20%26%20a%7Bnn%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5Cvert%20%3D%20a%7B11%7D%5Cldots%20a%7Bnn%7D.%20%0A#card=math&code=%7C%5Cmathrm%7Bdiag%7D%28a%7B11%7D%2C%20%5Cldots%2C%20a%7Bnn%7D%29%20%7C%3D%20%5Cleft%20%5Cvert%5Cbegin%7Bmatrix%7Da%7B11%7D%20%26%20%5Ccdots%20%26%200%5C%5C%20%5Cvdots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cvdots%20%5C%5C%200%20%26%20%5Ccdots%20%26%20a%7Bnn%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%5Cvert%20%3D%20a%7B11%7D%5Cldots%20a%7Bnn%7D.%20%0A&id=oM3QD)
是三角形行列式.
这个性质是电子计算机计算行列式的主要方法。它比按照定义来计算行列式要简单很多。所以我们想要有方法，能够把一个任意的行列式，化简成（上）三角形.
性质1， 4与下面的性质6，可以保证实现此目的： - 把行列式第
行，全部换成
(即用常数
乘以第
行，所得到的，对应地加到第
行)，行列式保持不变.
注意：原本第
行也保持不变.
总结性质1，4，6，用方便的符号记录如下:
对换两行 
r表示row, 行
某一行乘以一个常数 
性质6: 
以上三种操作，合称”初等行变换”. 这是线性代数最重要，最核心的算法！
性质6的几何解释：已知二阶行列式
的绝对值 (absolute value), abs(D) 等于以
%2C%20(c%2C%20d)#card=math&code=%28a%2C%20b%29%2C%20%28c%2C%20d%29&id=tluzM)两个平面向量作为一组邻边的平行四边形的面积.
取%3D(1%2C%200)%2C%20(c%2C%20d)%3D(k%2C%201)#card=math&code=%28a%2C%20b%29%3D%281%2C%200%29%2C%20%28c%2C%20d%29%3D%28k%2C%201%29&id=tBRJ1), 其中
是任意实数. 那么所得平行四边形的面积等于
, 与
无关.
特别，如果k=0, 则
%3D(0%2C%201)#card=math&code=%28c%2C%20d%29%3D%280%2C%201%29&id=e7Xwk). 
(按照性质 6， 
不改变
的值.)
再看
类似地， 三阶行列式
的绝对值，也能理解为以三个列向量为基础的平行六面体的体积，这时也能验证性质6.
性质6的代数解释：我们用3阶行列式来说明，一般的情形完全类似：
对行列式
作变换
, 得到
,
按照性质2，我们把上面这个行列式拆开成两个的和：
.
右边第一个行列式，就是原来的行列式，而右边第二个行列式等于0，因为它有两行成比例.
- (last but not least) 最后是这个性质：”行列式的行与列，地位一样”。所以上面提到的所有对于行的操作，对于列，有类似的操作，且相应的性质一样成立。 特别：行列式转置，等于原来的行列式。
行列式按行展开（当然也可以按列展开）
任意选中
一个元素
, 删去它所在的行与列的全部元素，剩下的元素组成一个
阶行列式(验证). 把这个
阶行列式称为
的余子式(minor)，通常记作
, 把
%5E%7Bi%2Bj%7DM%7Bij%7D#card=math&code=%28-1%29%5E%7Bi%2Bj%7DM%7Bij%7D&id=j1zKT)称为
的代数余子式(algebraic minor)，通常记作
.
最重要的性质是下面的:
取定某个
, 则
. 特别，如果
第
行只有一个元素不等于零，例如
, 则
. - 当
时, 
.
性质1的等式就是”行列式按行展开”.
例子：
.
我们按第
行展开（第二行有一个0）. 四个代数余子式依次等于
%5E3%20(-5)%3D5%2C%20%5C%3B%20A%7B22%7D%3D(-1)%5E4%205%20%3D%205%2C%20%5C%3B%20A%7B23%7D%3D(-1)%5E5%20(-8)%3D8%2C%20%5C%3B%20A%7B24%7D%3D(-1)%5E6%20(-6)%3D-6#card=math&code=A%7B21%7D%20%3D%20%28-1%29%5E3%20%28-5%29%3D5%2C%20%5C%3B%20A%7B22%7D%3D%28-1%29%5E4%205%20%3D%205%2C%20%5C%3B%20A%7B23%7D%3D%28-1%29%5E5%20%28-8%29%3D8%2C%20%5C%3B%20A_%7B24%7D%3D%28-1%29%5E6%20%28-6%29%3D-6&id=TiSLE).
于是
. 而的确
.
再看
. 计算
.
请自己验证
的情形是否为零.
Cramer’s rule Gabriel Cramer (1704-1752), 瑞士数学家.
先陈述法则：线性方程组
的系数行列式
如果
, 那么线性方程组有唯一解。这个解由下面的公式给出：
, 其中
是把
的第
列用列向量
替换后得到的行列式.
例：用Cramer’s rule解鸡兔同笼问题：假设有
只鸡，
只兔子, 一共14个头，44条腿.
用
替换第二个方程，得
系数行列式
.
所以
.
注：(1) Cramer法则陈述起来很简单，很好记，但是不实用！因为算一个行列式并不容易！我们会学习更有效的解线性方程组的方法——初等行变换！
(2) Cramer法则只能用在”未知数的个数等于方程的个数”的情况！这就很不方便。例如下面的“百鸡百钱问题”（我国古书《张丘建算经》），就不能用Cramer法则.
百鸡百钱问题：公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡1文钱三只，用100文钱买一百只鸡，应该买公鸡，母鸡，小鸡各多少？
(3) 用
代替方程
，可以想象为——鸡都抬起了一条腿，兔子都抬起了两条腿. 而如果进一步，用
减去
，得到
，可以想象为——鸡继续抬起一条腿，兔子也继续抬起一条腿，但这时鸡的两条腿都抬起来了，所以鸡都蹲地上了，只剩下兔子单腿站立，所以此时有多少条腿，就等于有多少只兔子.
再看一例：方程组是
我们把方程组改写为
先求系数行列式：
, 有唯一解！
故 
.
建议 ：
(1) 用Cramer法则求出解之后，一定要验算！
(2) 以上面所有的行列式为例，验证行列式的性质，或者用按行展开的方法，计算这些行列式。
讨论：如果上面的方程组改为
则相应的系数行列式也要跟着改变，变为
此时，如何计算方程的解？依然是Cramer的方法：想要计算哪一个未知数的分子时（分母一直是系数行列式
), 我们就用等号右边的常数项，代替系数行列式中，相应未知数的系数那一列。例如，想计算x, 则先求出
于是
同理可用求出y与z.
因此，关键在于找准系数行列式！
