正交性1

在欧几里得空间中，如果%20%3D%20x%5E%5Ctop%20y#card=math&code=%28x%2C%20y%29%20%3D%20x%5E%5Ctop%20y&id=CYOCB)是内积，那么当%3D0#card=math&code=%28x%2C%20y%29%3D0&id=nS5Xn)时，我们说正交.

正交性也体现在齐次线性方程组中：如果, 其中是 矩阵，那么与的每个行向量都正交。更一般地，如果, 其中是矩阵，是矩阵，那么的每一个列向量，与的每个行向量，都正交。

于是，计算的子空间的正交补子空间，可以用正交的定义，转化为求线性方程组的解：

%20%3D%20x%5E%5Ctop%20y%20%3D%200%2C%20%5C%3B%20%5Cforall%20x%20%5Cin%20W%5C%7D.%0A#card=math&code=W%5E%5Cperp%20%3D%20%5C%7By%20%5Cin%20V%20%5Cmid%20%28x%2C%20y%29%20%3D%20x%5E%5Ctop%20y%20%3D%200%2C%20%5C%3B%20%5Cforall%20x%20%5Cin%20W%5C%7D.%0A&id=iNjSj)

这种观点可用于求子空间的交。我们有下面的一般结果：如果是有限维线性空间，是两个子空间，分别是它们的正交补，那么

%5E%5Cperp%2C%20%5Cquad%20W_1%5E%5Cperp%20%2B%20W_2%5E%5Cperp%20%3D%20(W_1%5Ccap%20W_2)%5E%5Cperp.%20%0A#card=math&code=W_1%5E%5Cperp%20%5Ccap%20W_2%5E%5Cperp%20%3D%20%28W_1%20%2B%20W_2%29%5E%5Cperp%2C%20%5Cquad%20W_1%5E%5Cperp%20%2B%20W_2%5E%5Cperp%20%3D%20%28W_1%5Ccap%20W_2%29%5E%5Cperp.%20%0A&id=uhsP6)

注意第二个等式可以从第一个，以及%5E%5Cperp%20%3D%20W#card=math&code=%28W%5E%5Cperp%29%5E%5Cperp%20%3D%20W&id=pyrd9)得到：取, 则, 第一式给出%5E%5Cperp%20%5CLongrightarrow%20(V_1%20%5Ccap%20V_2)%5E%5Cperp%20%3D%20V_1%5E%5Cperp%20%2B%20V_2%5E%5Cperp%2C#card=math&code=V_1%20%5Ccap%20V_2%20%3D%20%28V_1%5E%5Cperp%20%2BV_2%5E%5Cperp%29%5E%5Cperp%20%5CLongrightarrow%20%28V_1%20%5Ccap%20V_2%29%5E%5Cperp%20%3D%20V_1%5E%5Cperp%20%2B%20V_2%5E%5Cperp%2C&id=uwso7) 这就是第二式。

下面证明第一式。设是齐次线性方程组的解空间，设#card=math&code=%28%5Cxi_i%29&id=sbF7l)是一个基础解系。则等于的行向量生成的线性空间。

那么是齐次线性方程组的解空间，这里 而分别是方程组的解空间. (我们假设是同一个线性空间的子空间，所以列数相同.)

已知方程组的解空间，由与的行向量都正交的全部向量组成。因此，解空间中的向量当然与的行向量的所有线性组合都正交，所以解空间等于span(row#card=math&code=%28A%29&id=I8h29))的正交补，即%5E%5Cperp#card=math&code=%28W_1%20%2B%20W_2%29%5E%5Cperp&id=tOntN). 第一式得证。

注：(i) 我们通常写

%5Cbig)%0A#card=math&code=W%5E%5Cperp%20%3D%20%5Cker%20A%2C%20%5Cquad%20W%20%3D%20%5Cbig%28%5Cmathrm%7BRan%7D%28A%5E%5Ctop%29%5Cbig%29%0A&id=aOhpI)

这里ker是kernel的意思，一般翻译为“核”，而Ran是Range的意思，即”像”。对任意矩阵按照定义，有

,
这里是的列向量。

上面的证明则告诉我们

(ii) 我们有两个角度（当然是等价的）来理解线性空间：既可以把线性空间定义为某个齐次线性方程组的解空间，也可以用一个基(齐次线性方程组的一个基础解系)来给出线性空间。回忆基础解系中的向量数目（即) ，等于未知数的数目，减去系数矩阵的秩#card=math&code=r%28A%29&id=WFbrM)。已知%3D%5Cdim%20%5Cbig(%5Cmathrm%7BRan%7D(A)%5Cbig)#card=math&code=r%28A%29%3D%5Cdim%20%5Cbig%28%5Cmathrm%7BRan%7D%28A%29%5Cbig%29&id=MA046)，所以，直和分解 告诉我们，未知数的数目=%3D%5Cdim%20W%20%2B%5Cdim%20W%5E%5Cperp%20%3D%20%5Cdim%20%5Cker%20A%20%2B%20%5Cdim%20%5Cbig(%5Cmathrm%7BRan%7D(A%5E%5Ctop)%5Cbig)#card=math&code=%5Cdim%20%28W%5Coplus%20W%5E%5Cperp%29%3D%5Cdim%20W%20%2B%5Cdim%20W%5E%5Cperp%20%3D%20%5Cdim%20%5Cker%20A%20%2B%20%5Cdim%20%5Cbig%28%5Cmathrm%7BRan%7D%28A%5E%5Ctop%29%5Cbig%29&id=NlBzk)

由此可得 %5Cbig)%20%3D%5Cdim%20%5Cbig(%5Cmathrm%7BRan%7D(A%5E%5Ctop)%5Cbig)#card=math&code=%5Cdim%20%5Cbig%28%5Cmathrm%7BRan%7D%28A%29%5Cbig%29%20%3D%5Cdim%20%5Cbig%28%5Cmathrm%7BRan%7D%28A%5E%5Ctop%29%5Cbig%29&id=A6hsM), 此即%3Dr(A%5E%5Ctop)#card=math&code=r%28A%29%3Dr%28A%5E%5Ctop%29&id=YF4GO).

(iii) 在无限维时，只有关系式%5E%5Cperp#card=math&code=W%20%5Csubseteq%20%28W%5E%5Cperp%29%5E%5Cperp&id=Bjb2q)，不能保证有等式，所以(1)中第二个等式不成立。（可以这样记忆：正交补子空间一定是闭集，但是两个闭子空间的和，不能保证是闭的——当然也有例外，例如当这两个闭子空间中至少有一个是有限维的时候。）

例：设中有两个字空间

%2C%20%5Cquad%20%5Calpha_1%3D(1%2C%203%2C%20-1%2C%201)%5E%5Ctop%2C%20%5C%3B%20%5Calpha_2%20%3D%20(1%2C%200%2C%20-1%2C%20-2)%5E%5Ctop%2C%20%5C%5C%0AV_2%20%26%3D%20%5Cmathrm%7Bspan%7D(%5Cbeta_1%2C%20%5Cbeta_2)%2C%20%5Cquad%20%5Cbeta_1%3D(2%2C%201%2C%20-1%2C%202)%5E%5Ctop%2C%20%5C%3B%20%5Cbeta_2%20%3D%20(5%2C%202%2C%20-3%2C%202)%5E%5Ctop.%20%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0AV_1%20%26%3D%20%5Cmathrm%7Bspan%7D%28%5Calpha_1%2C%20%5Calpha_2%29%2C%20%5Cquad%20%5Calpha_1%3D%281%2C%203%2C%20-1%2C%201%29%5E%5Ctop%2C%20%5C%3B%20%5Calpha_2%20%3D%20%281%2C%200%2C%20-1%2C%20-2%29%5E%5Ctop%2C%20%5C%5C%0AV_2%20%26%3D%20%5Cmathrm%7Bspan%7D%28%5Cbeta_1%2C%20%5Cbeta_2%29%2C%20%5Cquad%20%5Cbeta_1%3D%282%2C%201%2C%20-1%2C%202%29%5E%5Ctop%2C%20%5C%3B%20%5Cbeta_2%20%3D%20%285%2C%202%2C%20-3%2C%202%29%5E%5Ctop.%20%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A&id=eA5UI)

求的一个基。

解：我们取, 并使用公式%5E%5Cperp#card=math&code=W_1%5E%5Cperp%20%5Ccap%20W_2%5E%5Cperp%20%3D%20%28W_1%20%2B%20W_2%29%5E%5Cperp&id=jf5Df)来计算。

是方程组的解空间，求得一个基础解系是%5E%5Ctop%2C%20%5Cxi_2%20%3D%20(2%2C%20-1%2C%200%2C%201)%5E%5Ctop#card=math&code=%5Cxi_1%20%3D%20%281%2C%200%2C%201%2C%200%29%5E%5Ctop%2C%20%5Cxi_2%20%3D%20%282%2C%20-1%2C%200%2C%201%29%5E%5Ctop&id=w33uT).

是方程组的解空间，求得一个基础解系是%5E%5Ctop%2C%20%5Ceta_2%20%3D%20(2%2C%20-6%2C%200%2C%201)%5E%5Ctop#card=math&code=%5Ceta_1%20%3D%20%281%2C-1%2C%201%2C%200%29%5E%5Ctop%2C%20%5Ceta_2%20%3D%20%282%2C%20-6%2C%200%2C%201%29%5E%5Ctop&id=Q7jbg).

于是#card=math&code=W_1%2BW_2%3D%5Cmathrm%7Bspan%7D%28%5Cxi_1%2C%20%5Cxi_2%2C%20%5Ceta_1%2C%20%5Ceta_2%29&id=tJAIL). 求出简化行阶梯型，可知. 所以%5E%5Cperp#card=math&code=%28W_1%2BW_2%29%5E%5Cperp&id=ZIQi5)等于线性方程组(%5Cxi_1%2C%20%5Cxi_2%2C%20%5Ceta_1)%3D%5Cmathbf%7B0%7D#card=math&code=%28x%2C%20y%2C%20z%2C%20t%29%28%5Cxi_1%2C%20%5Cxi_2%2C%20%5Ceta_1%29%3D%5Cmathbf%7B0%7D&id=PzsMm)的解空间, 其中是未知数。求得其基础解系是%5E%5Ctop#card=math&code=%281%2C%200%2C%20-1%2C%20-2%29%5E%5Ctop&id=Z4ear). 这正好是.