对称2-对称正交矩阵

回忆：设是一个（实）方阵。我们用表示的逆矩阵（当可逆时）；用表示的转置。我们说是正交矩阵，是指满足条件：；说是对称矩阵，是指满足条件：.

假设阶实方阵既是对称又是正交的，它会有什么特别的性质呢？当然会有对称矩阵与正交矩阵的所有性质。还有别的吗？

Proposition 1. 是对合的(involutional), 即 (我们用表示单位矩阵).

证：这是因为且.

Corollary 1.1. 的特征值只有 与.

为证明这个推论，先证明下面的

Lemma. 设是一个阶方阵, 是的特征值. 假设#card=math&code=p%28t%29&id=E51be)是一个多项式，用#card=math&code=p%28M%29&id=L5SGe)表示把代入#card=math&code=p%28t%29&id=tK6yw)所得的表达式（这是一个矩阵）. 那么#card=math&code=p%28%5Clambda%29&id=EANHb)是#card=math&code=p%28M%29&id=wMIy3)的特征值.

证：按定义，设. 那么 由此可得
假设%3Da_n%20t%5En%20%2B%20%5Cldots%20%2B%20a_1%20t%20%2B%20a_0#card=math&code=p%28t%29%3Da_n%20t%5En%20%2B%20%5Cldots%20%2B%20a_1%20t%20%2B%20a_0&id=aAF1p), 那么

v%20%26%3D%20a_n%20M%5En%20v%20%2B%20%5Cldots%20%2B%20a_1%20M%20v%20%2B%20a_0%20v%20%5C%5C%0A%26%3D%20a_n%5Clambda%5En%20v%20%2B%20%5Cldots%20%2B%20a_1%20%5Clambda%20v%20%2B%20a_0%20v%20%5C%5C%0A%26%3D%20(a_n%20%5Clambda%5En%20%2B%20%5Cldots%20%2B%20a_1%20%5Clambda%20%2B%20a_0)%20v%20%5C%5C%0A%26%3D%20p(%5Clambda)v.%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ap%28M%29v%20%26%3D%20a_n%20M%5En%20v%20%2B%20%5Cldots%20%2B%20a_1%20M%20v%20%2B%20a_0%20v%20%5C%5C%0A%26%3D%20a_n%5Clambda%5En%20v%20%2B%20%5Cldots%20%2B%20a_1%20%5Clambda%20v%20%2B%20a_0%20v%20%5C%5C%0A%26%3D%20%28a_n%20%5Clambda%5En%20%2B%20%5Cldots%20%2B%20a_1%20%5Clambda%20%2B%20a_0%29%20v%20%5C%5C%0A%26%3D%20p%28%5Clambda%29v.%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A&id=gPo25)

把这个引理用在%3Dt%5E2%20-%201#card=math&code=M%3DA%2C%20p%28t%29%3Dt%5E2%20-%201&id=Yi9zL) 的情形，可得：如果是的特征值，那么一定有%3D%5Clambda%5E2%20-1%20%3D0#card=math&code=p%28%5Clambda%29%3D%5Clambda%5E2%20-1%20%3D0&id=Y0gGE). 这是因为, 即. 所以.

Corollary 1.2. 可以相似对角化到矩阵#card=math&code=D%20%3D%20%5Cmathrm%7Bdiag%7D%28%5Cunderbrace%7B1%2C%20%5Cldots%2C%201%7D_p%2C%20%5Cunderbrace%7B-1%2C%20%5Cldots%2C%20-1%7D_q%29&id=TkYxy), 其中是整数，且. 而且%5Eq#card=math&code=%5Cdet%20A%20%3D%20%28-1%29%5Eq&id=zS7wB).

这是因为实对称矩阵一定可以对角化，而对角化之后的对角矩阵的对角元素，就是原来实对称矩阵的特征值.

Proposition 2. 任何一个列向量, 都能表示成，其中.

证：我们取%2F2%2C%20%5Cquad%20x_2%20%3D%20(x-Ax)%2F2#card=math&code=x_1%20%3D%20%28x%2BAx%29%2F2%2C%20%5Cquad%20x_2%20%3D%20%28x-Ax%29%2F2&id=sJal2). 利用，容易验证.

Corollary 2.1. 设如命题2所述. 那么.

证：这是因为是实对称矩阵，而分别是属于的特征值与的特征向量。众所周知，属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量，互相正交.

最后举一个对称正交矩阵的例子：设是列实向量，且. 定义. 那么是阶实方阵，且. 进一步，. 这是因为

%5E2%20%3D%20I%20-%204%5Calpha%5Calpha%5E%5Ctop%20%2B%204%5Calpha(%5Calpha%5E%5Ctop%20%5Calpha)%20%5Calpha%5E%5Ctop%20%3D%20I.%0A#card=math&code=H_%5Calpha%5E2%20%3D%20%28I-2%5Calpha%5Calpha%5E%5Ctop%29%5E2%20%3D%20I%20-%204%5Calpha%5Calpha%5E%5Ctop%20%2B%204%5Calpha%28%5Calpha%5E%5Ctop%20%5Calpha%29%20%5Calpha%5E%5Ctop%20%3D%20I.%0A&id=o8i30)

（这里用了矩阵乘法满足结合律）

可以证明. 例如，可以这样看：如果, 那么推论1.2中的是个偶数. 如果，那么与单位矩阵相似，即的特征值只有. 但是

%5Calpha%20%3D%20%5Calpha%20-%202%5Calpha%20(%5Calpha%5E%5Ctop%5Calpha)%3D-%5Calpha%2C%0A#card=math&code=H_%5Calpha%20%5Calpha%20%3D%20%28I-2%5Calpha%20%5Calpha%5E%5Ctop%29%5Calpha%20%3D%20%5Calpha%20-%202%5Calpha%20%28%5Calpha%5E%5Ctop%5Calpha%29%3D-%5Calpha%2C%0A&id=twmgJ)

这表明是的特征向量，且相应的特征值是. 所以. 下面再证明：所有的列向量，可以分为两类：与共线或者与正交. 如果与正交, 即, 那么

x%20%3D%20x%20-%202%5Calpha%20(%5Calpha%5E%5Ctop%20x)%3Dx.%0A#card=math&code=H_%5Calpha%20x%20%3D%20%28I-2%5Calpha%20%5Calpha%5E%5Ctop%29x%20%3D%20x%20-%202%5Calpha%20%28%5Calpha%5E%5Ctop%20x%29%3Dx.%0A&id=yDr5Y)

所以齐次线性方程组X%3D%5Cmathbf%7B0%7D#card=math&code=%28H%5Calpha%2BI%29X%3D%5Cmathbf%7B0%7D&id=jsrIT)的基础解系只有一个向量，这个向量是. 这表明相似对角化之后，有且只有一个特征值是. 所以%5Eq%20%3D-1#card=math&code=q%3D1%20%5CLongrightarrow%20%5Cdet%20H_%5Calpha%20%3D%20%28-1%29%5Eq%20%3D-1&id=Qn1BB).

注：矩阵称为Householder矩阵. 美国数学家Alston Scott Householder 引入这个矩阵.