1. 概念
2. 运算
3. 方阵及其行列式
4. 几种特殊矩阵
5. 分块矩阵
6. 逆矩阵
7. 矩阵的初等变换
8. 矩阵的秩

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1. 概念
   回忆阶行列式是个数或者字母排成的形状，两边各加一条竖线；
   所谓阶矩阵，是个数或者字母排成的形状，两边用（圆弧／小）括号括起来，例如
   .
   对于阶矩阵， 因为它一定是正方形的，为了强调，一般都叫做阶方阵.
   注意：方阵一样有主对角线与副对角线.
   而且，对于一个 阶方阵，可以定义它的行列式det：这是一个函数，函数的自变量（输入）是一个方阵，函数的值（输出）是这个方阵的行列式. 例如
   
   .
   但是, 矩阵不必是方阵：一个 的矩阵，是 个数或者字母，排成 的形状（即行 列)，两边用（圆弧／小）括号括起来。
   例如 是一个矩阵.
2. 运算
   矩阵相等
   矩阵加减法
   数乘矩阵
   矩阵转置
   重点：矩阵乘法！
   回忆数（标量）的乘法，有下面的重要性质：
   （i）数”1”，乘以任何其它数，都等于本身；
   （ii）满足乘法结合律，乘法交换律；乘法与加法还有分配律；
   （iii）除以一个数，等于乘以的倒数;
   （iv）零不能作除数。
   （v）如果 则 或.
   自然会问，矩阵乘法有没有类似的性质。
   首先要知道，
   如果是矩阵，是矩阵，那么乘积有定义当且仅当.
   其次要问，当乘积有定义时，这个乘积等于什么？
   答：假设，则有意义，且乘积是矩阵。
   再假设%2C%20%5C%3B%20B%3D(b%7Bij%7D)%2C%20%5C%3B%20C%3DAB%3D(c%7Bij%7D)#card=math&code=A%3D%28a%7Bij%7D%29%2C%20%5C%3B%20B%3D%28b%7Bij%7D%29%2C%20%5C%3B%20C%3DAB%3D%28c%7Bij%7D%29&id=rXcqs). 则 
   这就是矩阵乘法的计算公式。
   矩阵乘法的性质：
   (i) 对任意正整数，方阵 
   的特点是对角线上的元素都是，其它位置全部是，我们称为阶单位矩阵（或者单位方阵）。
   如果是矩阵，那么. 所以单位矩阵起到了数的乘法中”1”的角色／作用。
   (ii) 乘法交换律？ 结合律？ 分配律？
   答：矩阵乘法很容易看出来不可以交换，比如，是矩阵，是矩阵，那么有意义，但无意义。
   乘法结合律则成立：当三个矩阵可以相乘，即有意义时，可以用矩阵乘法的定义，直接证明C%3DA(BC)%3DABC#card=math&code=%28AB%29C%3DA%28BC%29%3DABC&id=UthIs).
   乘法分配律也成立：假设下面的式子有意义，则 C%3DAC%2BBC%2C%20%5Cquad%20(M%2BN)P%3DMP%20%2B%20NP.%0A#card=math&code=%28A%2BB%29C%3DAC%2BBC%2C%20%5Cquad%20%28M%2BN%29P%3DMP%20%2B%20NP.%0A&id=WuFcZ)
   同样是用定义就能直接证明。
   顺便看看数乘矩阵：如果是一个标量（常数），#card=math&code=A%3D%28a%7Bij%7D%29&id=ACta3)是矩阵，则按定义，有#card=math&code=%5Clambda%20A%20%3D%20%28%5Clambda%20a%7Bij%7D%29&id=d9sSJ). 而且有下面的性质：对任意标量 : A%20%3D%20A%20(%5Clambda%20I_n)%2C%20%5C%5C%0A(%5Clambda_1%20%5Clambda_2%20)A%20%26%3D%20%5Clambda_1%20(%5Clambda_2%20A)%3D%5Clambda_2%20(%5Clambda_1%20A)%20%2C%20%5C%5C%0A%5Clambda%20(A%2BB)%26%3D%5Clambda%20A%20%2B%20%5Clambda%20B.%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A#card=math&code=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Clambda%20A%20%26%3D%20%28%5Clambda%20I_m%29A%20%3D%20A%20%28%5Clambda%20I_n%29%2C%20%5C%5C%0A%28%5Clambda_1%20%5Clambda_2%20%29A%20%26%3D%20%5Clambda_1%20%28%5Clambda_2%20A%29%3D%5Clambda_2%20%28%5Clambda_1%20A%29%20%2C%20%5C%5C%0A%5Clambda%20%28A%2BB%29%26%3D%5Clambda%20A%20%2B%20%5Clambda%20B.%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A&id=mzYKk)
   (iii),(iv),(v)： 我们看一个例子：假如有矩阵方程, 其中 是已知的，是未知矩阵。假设是矩阵，是矩阵，那么是矩阵且必须要等式才有意义。问题是，当矩阵不是方阵时，会有与数的乘法不同的现象。例如：
   则
   或者%3D%5Cmathbf%7B0%7D%7B2%20%5Ctimes%202%7D#card=math&code=A%28X1%20-%20X_2%29%3D%5Cmathbf%7B0%7D%7B2%20%5Ctimes%202%7D&id=oL9LR). 但是与都不是零矩阵。
   所以与数的乘法相比，矩阵乘法有不少相异。例如，性质(v)不成立，而且非零矩阵，也不一定有”倒数”（标准的术语叫”逆矩阵”）。
   那么什么样的矩阵有逆矩阵呢？再看例子：
   例：设同上，矩阵使得. 由于
   故. 所以，有无数个使得.
   再看, 不论取什么数，.
   也就是说，不是方阵，不能定义逆矩阵，因为”逆矩阵”可能有多个，不唯一；即使是方阵，也可能没有逆矩阵。
   结论：如果想对矩阵定义逆矩阵，首先要求这个矩阵是方阵。我们引入下面的
   定义：设是阶方阵，如果有阶方阵使得
   我们就称是可逆矩阵，也称可逆，而称为的逆矩阵。
   后面会讲矩阵可逆的充分必要条件。
3. 方阵的行列式
   最重要的是下面的
   定理：如果都是阶方阵，那么%20%3D%20%5Cdet(A)%20%5Cdet(B)#card=math&code=%5Cdet%20%28AB%29%20%3D%20%5Cdet%28A%29%20%5Cdet%28B%29&id=NScYl).
4. 几种特殊的矩阵
   行、列矩阵
   （上／下）三角矩阵
   对角矩阵
   单位矩阵
   数量矩阵
   对称矩阵
5. 分块矩阵
6. 逆矩阵
   回忆逆矩阵的定义。
   事实：如果矩阵可逆，那么逆矩阵是唯一的。
   最重要的是下面的
   定理：方阵可逆的充要条件是%20%5Cneq%200#card=math&code=%5Cdet%20%28A%29%20%5Cneq%200&id=VfkBn).
   注意：1. 后面会讲用初等行变换判断矩阵是否可逆，以及当可逆时，如何算逆矩阵的算法。
   1. 判断矩阵是否可逆，本质上是求解线性方程组的问题，所以也就不难理解为何会出现行列式非0的条件（回忆Cramer法则）
7. 初等行／列变换
   把初等变换用在单位矩阵上，得到初等矩阵。因为有三种初等变换，所以有三种初等矩阵。
   注意：单位矩阵也是初等矩阵。
   最重要的是下面的
   定理：对矩阵做初等行变换，等同于左乘一个初等矩阵；对矩阵做初等列变换，等同于右乘一个初等矩阵。（可以记忆为”左行右列”）。
8. 矩阵的秩
   课本的定义；计算方法是使用初等行变换，将矩阵变成阶梯型，再数有多少个非0行。