三对角行列式

Tridiagonal determinant
先看一个典型的三对角行列式：

上式要求. 如果, 则a%5E%7Bn%7D%20%3D(n%2B1)b%5En#card=math&code=D_n%3D%20%28n%2B1%29a%5E%7Bn%7D%20%3D%28n%2B1%29b%5En&id=hCO52).

注意: 因为(a%5En%20%2B%20a%5E%7Bn-1%7Db%20%2B%20a%5E%7Bn-2%7Db%5E2%20%2B%20%5Ccdots%20%2B%20ab%5E%7Bn-1%7D%2Bb%5En)#card=math&code=a%5E%7Bn%2B1%7D-b%5E%7Bn%2B1%7D%20%3D%20%28a-b%29%28a%5En%20%2B%20a%5E%7Bn-1%7Db%20%2B%20a%5E%7Bn-2%7Db%5E2%20%2B%20%5Ccdots%20%2B%20ab%5E%7Bn-1%7D%2Bb%5En%29&id=rvlq6).

所以无论是否相等，总有

我们将计算出下面的行列式：

这样，只要取，就能得到的计算公式。

下面用递推法计算：按首行展开，得到%5E%7B1%2B1%7D%5Ccdot%20T%7Bn-1%7D%2B%20b%5Ccdot%20(-1)%5E%7B1%2B2%7D%20%5Ccdot%20a%20%5Ccdot%20T%7Bn-2%7D#card=math&code=Tn%20%3D%20c%5Ccdot%20%28-1%29%5E%7B1%2B1%7D%5Ccdot%20T%7Bn-1%7D%2B%20b%5Ccdot%20%28-1%29%5E%7B1%2B2%7D%20%5Ccdot%20a%20%5Ccdot%20T_%7Bn-2%7D&id=eAhOK). 即

注：也可以按首列展开一样可以得到公式(3).

我们希望有两个常数，使得

这样就是等比数列。比较上面两个式子的系数，可得. 这表明是方程

的两个根。由于这一点，我们可以期望

也成立，因为我们并不要求这两个根满足其它条件（只要求它们都是方程(5)的根）。从这个角度来讲，的地位一样，所以可以期望有(6)式成立。（而的确如此，因为对比(3),(6)两式的系数，一样可以得到是的两个根。）

按定义，. 由(4)得到
%3Dq%5E%7Bn-2%7D(c%5E2-ab-rc)%20%3D%20q%5E%7Bn%7D#card=math&code=Tn%20-%20rT%7Bn-1%7D%20%3D%20q%5E%7Bn-2%7D%28T_2-rT_1%29%3Dq%5E%7Bn-2%7D%28c%5E2-ab-rc%29%20%3D%20q%5E%7Bn%7D&id=vCtJN).

同理由(6)可得. 现在只要从方程组

中解出即可。
如果, 则 .
但如果, 则只有一个方程. 此时有

%20%3D%20%5Cldots%20%3D%20(n-1)q%5En%2B%20q%5E%7Bn-1%7DT1%3D(n%2B1)q%5En.%20%0A#card=math&code=T_n%20%3D%20q%5En%20%2B%20qT%7Bn-1%7D%3Dq%5E%7Bn%7D%2Bq%28q%5E%7Bn-1%7D%2BqT_%7Bn-2%7D%29%20%3D%20%5Cldots%20%3D%20%28n-1%29q%5En%2B%20q%5E%7Bn-1%7DT_1%3D%28n%2B1%29q%5En.%20%0A&id=SOD2h)

特别，如果, 则方程(5)变成x%2Bab%3D(x-a)(x-b)%3D0#card=math&code=x%5E2-%28a%2Bb%29x%2Bab%3D%28x-a%29%28x-b%29%3D0&id=tvPCg). 这样%3D(a%2C%20b)#card=math&code=%28q%2C%20r%29%3D%28a%2C%20b%29&id=DGWFH)或#card=math&code=%28b%2C%20a%29&id=VlNRV). 我们得到的公式.

例子：我们把称为黄金分割。如果取 则

%5E%7Bn%2B1%7D%20-%20%5Cleft(%5Cfrac%7B1-%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright)%5E%7Bn%2B1%7D%20%5D%0A#card=math&code=T_n%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%5B%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright%29%5E%7Bn%2B1%7D%20-%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B1-%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright%29%5E%7Bn%2B1%7D%20%5D%0A&id=ZBH4I)

计算可得. 可以证明. 所以就是Fibonacci数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

我们还可以考虑更一般的三对角行列式：

%20%3D%20%5Cleft%20%5Cvert%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20c1%20%26%20b_1%20%26%200%20%26%20%5Ccdots%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%0Aa_1%20%26%20c_2%20%26%20b_2%20%26%20%5Ccdots%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%20%0A0%20%26%20a_2%20%26%20c_3%20%26%20%5Ccdots%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%0A%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cvdots%20%5C%5C%0A0%20%26%200%20%26%200%20%26%5Ccdots%20%26%20c%7Bn-1%7D%20%26%20b%7Bn-1%7D%20%5C%5C%20%0A0%20%26%200%20%26%200%20%26%20%5Ccdots%20%26%20a%7Bn-1%7D%20%26%20cn%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5Cvert_n%0A#card=math&code=T_n%28%5Cmathbf%7Bc%2C%20a%2C%20b%7D%29%20%3D%20%5Cleft%20%5Cvert%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20c_1%20%26%20b_1%20%26%200%20%26%20%5Ccdots%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%0Aa_1%20%26%20c_2%20%26%20b_2%20%26%20%5Ccdots%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%20%0A0%20%26%20a_2%20%26%20c_3%20%26%20%5Ccdots%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%0A%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cvdots%20%5C%5C%0A0%20%26%200%20%26%200%20%26%5Ccdots%20%26%20c%7Bn-1%7D%20%26%20b%7Bn-1%7D%20%5C%5C%20%0A0%20%26%200%20%26%200%20%26%20%5Ccdots%20%26%20a%7Bn-1%7D%20%26%20c_n%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5Cvert_n%0A&id=SDUho)

电子计算机计算这个行列式的方法是”用初等行变换化为三角形矩阵”. 我们假设. 记上面的行列式为作初等行变换则上式变成

其中. 我们假设. 继续作初等行变换#card=math&code=r3%2Br_2%28-a_2%2Fc%27_2%29&id=nz1Vi), 又可以把的第(3, 2)位置变成0. 如此不断进行，最后就可以化为上三角行列式，从而求出行列式的值其中

只要输入初始值, 用公式(7)编程求出，即可求出行列式.