对称6-正定对称矩阵定义了内积

一个阶方阵能定义一个双线性函数：%3Dv%5E%5Ctop%20Aw%2C%20%5C%3B%20v%2C%20w%20%5Cin%20V%3D%5Cmathbb%7BR%7D%5En#card=math&code=f%28v%2C%20w%29%3Dv%5E%5Ctop%20Aw%2C%20%5C%3B%20v%2C%20w%20%5Cin%20V%3D%5Cmathbb%7BR%7D%5En&id=B6pS5). 反之，所有的双线性函数本质上都可以这样的到。我们还可以做下面的运算，得到一些有意思的函数。

1. 对称化：定义%3D(1%2F2)%5Bf(v%2C%20w)%2Bf(w%2C%20v)%5D#card=math&code=S%28v%2C%20w%29%3D%281%2F2%29%5Bf%28v%2C%20w%29%2Bf%28w%2C%20v%29%5D&id=lysZB). 这样就得到一个对称双线性函数%3DS(w%2C%20v)#card=math&code=S%28v%2C%20w%29%3DS%28w%2C%20v%29&id=MfFHN);

2. 交错化：定义%3D(1%2F2)%5Bf(v%2C%20w)-f(w%2Cv)%5D#card=math&code=%5CLambda%28v%2C%20w%29%3D%281%2F2%29%5Bf%28v%2C%20w%29-f%28w%2Cv%29%5D&id=NfnEp). 这样就得到一个交错的双线性函数%3D0#card=math&code=%5CLambda%28v%2C%20v%29%3D0&id=k3wXo);

3. 这两种运算等价于下面的
   命题：任意阶方阵都能写成一个对称方阵与一个反对称方阵的和。
   这是因为(A%2BA%5E%5Ctop)%20%2B%20(1%2F2)(A-A%5E%5Ctop)#card=math&code=A%20%3D%20%281%2F2%29%28A%2BA%5E%5Ctop%29%20%2B%20%281%2F2%29%28A-A%5E%5Ctop%29&id=FiNyH).
   与之相关的是，在全部阶实方阵组成的线性空间中，”矩阵转置”%3DM%5E%5Ctop#card=math&code=%5Ciota%28M%29%3DM%5E%5Ctop&id=ZdgRE)是一个线性变换。显然，转置之后再转置，就变回原来的矩阵，所以. 这表明它的特征值是. 特征子空间 是全体对称矩阵，则是全体反对称矩阵。

4. 如果#card=math&code=%28v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_n%29&id=tZzlV)是的任意个向量，我们定义矩阵%3D%5Cbig(%20f(v_i%2C%20v_j)%20%5Cbig)#card=math&code=G%28v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_n%29%3D%5Cbig%28%20f%28v_i%2C%20v_j%29%20%5Cbig%29&id=FQXFP).

我们称它为由定义的关于#card=math&code=%28v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_n%29&id=RGPT9)的Gram矩阵. 它有下面的重要性质：

命题：向量#card=math&code=%28v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_n%29&id=iVXm3)构成的一个基，当且仅当Gram矩阵#card=math&code=G%28v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_n%29&id=mne2i)非退化。

回忆内积是”正定对称双线性函数”。下面看对称的双线性函数。设%3DS(w%2Cv)#card=math&code=S%28v%2C%20w%29%3DS%28w%2Cv%29&id=vqoFn)是一个对称双线性函数。

1. 称%3DS(v%2C%20v)#card=math&code=q%28v%29%3DS%28v%2C%20v%29&id=qfH4W)是由定义的二次型。它满足%3D%5Calpha%5E2%20q(v)%2C%20%5Cforall%20%5Calpha%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D#card=math&code=q%28%5Calpha%20v%29%3D%5Calpha%5E2%20q%28v%29%2C%20%5Cforall%20%5Calpha%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D&id=tMGpo). %22%20aria-hidden%3D%22true%22%3E%0A%20%3Cuse%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMATHI-53%22%20x%3D%220%22%20y%3D%220%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%3C%2Fg%3E%0A%3C%2Fsvg%3E#card=math&code=S&id=WwcfO)与之间有下面的重要关系式，称为”极化恒等式“ (polar identity):

   

这个式子的奇妙之处在于，等号右边的表达式每一项都不是线性的，但是却给出了等号左边的双线性函数。

1. 对称双线性函数也能定义”正定性”(positive-definiteness)：我们称正定(positive-definite)，如果%3Dq(v)%20%5Cgeq%200#card=math&code=S%28v%2C%20v%29%3Dq%28v%29%20%5Cgeq%200&id=loH7y), 而且等号当且仅当时成立。由此，我们得到许许多多的内积：只要有一个正定的, 那么%3A%3DS(v%2C%20w)#card=math&code=%28v%2C%20w%29%3A%3DS%28v%2C%20w%29&id=wEwRG)就是一个内积。反之，所有的内积本质上都是这样的到的。

2. 于是有一个问题，如何判断对称双线性函数是不是正定的？对此Sylvester有以下的解答：

3. 两个阶实对称矩阵称为相合（或者合同，英文是congruent）的，如果有可逆矩阵，使得

注：这个概念与基变换之下的Gram矩阵有关。如果是某个对称双线性函数在自然基#card=math&code=%28e_1%2C%20%5Cldots%2C%20e_n%29&id=OEJaT)的Gram矩阵，那么%5Cbig)#card=math&code=B%3D%5Cbig%28S%28m_i%2C%20m_j%29%5Cbig%29&id=oScvU), 其中#card=math&code=M%3D%28m_1%2C%20%5Cldots%2C%20m_j%29&id=deUqA).

Sylvester’s inertia law（惯性定理）指出，任何一个阶实对称矩阵，如果它的秩等于#card=math&code=r%3Dr%28A%29&id=Qq8Wn), 那么可以找到一个可逆矩阵, 使得
%2C%0A#card=math&code=M%5E%5Ctop%20A%20M%20%3D%20%5Cmathrm%7Bdiag%7D%28I_p%2C%20O%2C%20-I_q%29%2C%0A&id=k0uIj)
其中. 非负整数由矩阵唯一决定，它们分别称为的正、负惯性指数，而称为符号差.

定义：对任意一个对称双线性形, 如果%3DS(v%2C%20v)#card=math&code=q%28v%29%3DS%28v%2C%20v%29&id=MSuZV), 而是由给出的关于某个基的Gram矩阵，我们称是对称双线性形与二次型的矩阵。

1. 根据Sylvester的惯性定理: 或
   -称为正定的，如果它们的矩阵与单位矩阵相合；
   -称为负定的，如果是正定的；
   -称为半正定的(或“正半定”，positive semi-definite)， 如果的负惯性指数且正惯性;
   -称为不定的(indefinite)，如果.

2. 通常计算对称矩阵的正负惯性指数，可以用初等变换求出一个可逆矩阵, 使得是对角矩阵（但对角元不必是），再看有多少个正数，负数与零就行。但有时矩阵的阶很大时，初等变换不容易给出. 好在Sylvester还给出下面的判断方法。首先引入”顺序主子式”(leading principal minor)的概念。对称矩阵#card=math&code=A%3D%28a_%7Bij%7D%29&id=TqehG)的顺序主子式是

1. 定理(Sylverster’s criterion of postive-definiteness)：实对称矩阵正定当且仅当所有的顺序主子式. 而是负定的，当且仅当%5Ei%20A_i%20%3E0%2C%20%5C%3B%20i%20%3D%201%2C%20%5Cldots%2C%20n#card=math&code=%28-1%29%5Ei%20A_i%20%3E0%2C%20%5C%3B%20i%20%3D%201%2C%20%5Cldots%2C%20n&id=Z1m0A).

2. 注意：不能说半正定当且仅当所有的顺序主子式. 因为#card=math&code=%5Cmathrm%7Bdiag%7D%281%2C%200%2C%20-1%29&id=FoSwI)就不是半正定的。

3. 之前学过，对于阶对称矩阵,有正交矩阵, 使得 %2C%0A#card=math&code=Q%5E%7B-1%7DAQ%20%3D%20Q%5E%5Ctop%20A%20Q%20%3D%20%5Cmathrm%7Bdiag%7D%28%5Clambda_1%2C%20%5Cldots%2C%20%5Clambda_n%29%2C%0A&id=jK9nN)
   其中是的特征值。结合Sylvester的惯性定理，我们有以下

4. 定理：实对称矩阵正定; 半正定; 负定.
   推论：对任意实对称矩阵 , 只要，那么 就是正定的.

5. 假设是正定对称双线性函数，于是%3DS(v%2C%20w)#card=math&code=%28v%2C%20w%29%3DS%28v%2C%20w%29&id=mtnVT)是上的内积。于是就会问，怎样从任意的一个基#card=math&code=%28v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_n%29&id=Tb7me)得到一个关于这个内积的标准正交基#card=math&code=%28%5Cepsilon_1%2C%20%5Cldots%2C%20%5Cepsilon_n%29&id=BrS7B), 即

我们这样考虑：假设是的矩阵，而#card=math&code=%28e_1%2C%20%5Cldots%2C%20e_n%29&id=W9nO8)是的自然基，再记#card=math&code=P%3D%28v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_n%29&id=dxIpu)是向量排成的矩阵。按照定义， %3D%5Cleft(%20S(e_i%2C%20e_j)%20%5Cright)%3DA%2C%20%5Cquad%20G(v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_n)%3D%5Cleft(%20S(v_i%2C%20v_j)%20%5Cright)%3DP%5E%5Ctop%20AP.%0A#card=math&code=G%28e_1%2C%20%5Cldots%2C%20e_n%29%3D%5Cleft%28%20S%28e_i%2C%20e_j%29%20%5Cright%29%3DA%2C%20%5Cquad%20G%28v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_n%29%3D%5Cleft%28%20S%28v_i%2C%20v_j%29%20%5Cright%29%3DP%5E%5Ctop%20AP.%0A&id=WabJB)
此时再找可逆矩阵,使得

即可。也就是说，矩阵的列向量，就是我们要的标准正交基。通常情况是, 即#card=math&code=%28v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_n%29&id=ZmGed)就是的自然基；或者直接说是某个基#card=math&code=%28v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_n%29&id=at6tG)在之下的Gram 矩阵。

1. 具体例子：设
   用顺序主子式判断正定性：. 故正定。如果是基#card=math&code=%28v_1%2C%20v_2%2C%20v_3%29&id=XeI3c)关于某个对称双线性函数的Gram矩阵，要求找出关于的一个标准正交基。此时可以用初等变换，求得
   则的列向量就是所求的关于的标准正交基。
2. 注：上面的矩阵可以用的Cholesky分解来计算。的确，