设
是
阶实对称矩阵。设(正交)矩阵
使得
#card=math&code=P%5E%5Ctop%20A%20P%20%3D%20P%5E%7B-1%7DAP%20%3D%20%5CLambda_A%3D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%28a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%29)是对角矩阵。
定义矩阵
#card=math&code=%5Csqrt%7B%5CLambda_A%7D%3D%5CLambda_A%5E%7B1%2F2%7D%20%3D%20%5Cmathrm%7Bdiag%7D%28%5Csqrt%7Ba_1%7D%2C%20%5Cldots%2C%20%5Csqrt%7Ba_n%7D%29). 其中如果某个
, 则
.
则有
%5E2%20%3D%20(P%5Csqrt%7B%5CLambda_A%7D%20%5C%2C%20P%5E%7B-1%7D)%5E2%20%3D%20P%5CLambda_A%20P%5E%7B-1%7D%3DA#card=math&code=%28P%5Csqrt%7B%5CLambda_A%7D%5C%2CP%5E%5Ctop%29%5E2%20%3D%20%28P%5Csqrt%7B%5CLambda_A%7D%20%5C%2C%20P%5E%7B-1%7D%29%5E2%20%3D%20P%5CLambda_A%20P%5E%7B-1%7D%3DA). 通常记矩阵
.
性质1：如果半正定，即所有特征值
, 则
也是半正定。
虽然
%5E%5Ctop%20%3D%20P%5Csqrt%7B%5CLambda_A%7D%20P%5E%5Ctop#card=math&code=%28P%5Csqrt%7B%5CLambda_A%7D%20P%5E%5Ctop%29%5E%5Ctop%20%3D%20P%5Csqrt%7B%5CLambda_A%7D%20P%5E%5Ctop), 但这个矩阵”不够简单”。我们想找一个下三角矩阵
, 使得
.
设
是的
分解。这里
是下三角矩阵，对角元都是
. 记
是
的转置矩阵。则
左边是对称的，右边是上三角的。这只能是等号两边的矩阵都是对角矩阵。令
, 则
. 这称为实对称矩阵的
分解。
注：电子计算机在计算（正定矩阵）的分解时，是将的严格下三角元素存储在的对应位置上，而将
的对角元存储在的对应的对角位置上。
如果令
, 这是下三角矩阵。则
, 由此就有. 分解称为实对称矩阵的Cholesky分解。通常只考虑是对称正定的，此时
都是实矩阵。
注：使用Cholesky分解，当求解线性方程组
时，记
, 则只需求解
. 由于是下三角矩阵，此时用forward substituion (即顺次求出
)就能求解。然后再用back substitution (即顺次求出
)就能解出原方程组。
性质2：设是实对称矩阵的Cholesky分解，又设
是奇异值(SVD)分解。则
.
这是因为：
%5E2%3D%20(U%5E%5Ctop%20%5CSigma%20U)%5E2%20%3D%20U%5E%5Ctop%20%5CSigma%5E2%20U%20%3D%20U%5E%5Ctop%20%5CSigma%20V%20V%5E%5Ctop%20%5CSigma%20U%20%3D%20GG%5E%5Ctop%20%3D%20A#card=math&code=%28%5Csqrt%7BA%7D%29%5E2%3D%20%28U%5E%5Ctop%20%5CSigma%20U%29%5E2%20%3D%20U%5E%5Ctop%20%5CSigma%5E2%20U%20%3D%20U%5E%5Ctop%20%5CSigma%20V%20V%5E%5Ctop%20%5CSigma%20U%20%3D%20GG%5E%5Ctop%20%3D%20A).
例子：矩阵
的分解是
%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%200%20%26%201%20%5C%5C%200%20%26%201%20%26%20-2%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%5Cend%7Bpmatrix%7D%3B%0A#card=math&code=A%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%201%20%26%200%20%5C%5C%201%20%26%20-2%20%26%201%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cmathrm%7Bdiag%7D%283%2C%201%2C1%29%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%200%20%26%201%20%5C%5C%200%20%26%201%20%26%20-2%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%5Cend%7Bpmatrix%7D%3B%0A)
其Cholesky分解是
值得注意的是，矩阵的特征多项式为
%20%3D%20%5Clambda%5E3-12%5Clambda%5E2%2B22%5Clambda%20-3#card=math&code=%5Cchi_A%28%5Clambda%29%20%3D%20%5Clambda%5E3-12%5Clambda%5E2%2B22%5Clambda%20-3), 这个多项式的根很难计算。不过从的分解中的矩阵, 马上可以看到是正定矩阵。
