跳表是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构，可以支持快速地插入、删除、查找操作，它甚至可以替代红黑树。比如 Redis 中的有序集合（Sorted Set）的实现就利用了跳表。

跳表使用空间换时间的设计思路，通过构建多级索引来提高查询的效率，实现了基于链表的二分查找。

跳表是什么？

对一个单链表来讲，即便链表中存储的数据都是有序的，如果我们要想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度是 O(n)。

为了提高查找效率，我们对链表建立一级索引，通过对每两个结点提取一个结点到上一级的方式，我们把抽出来的那一级叫索引层。如下图所示。图中的 down 表示指向下一级结点的指针。

如果我们现在要查找某个结点，比如 16。我们可以先在索引层遍历，当遍历到 13 时，我们发现下一个结点是 17，那要查找的结点 16 肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，我们只需要再遍历 2 个结点，就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样，原来如果要查找 16，需要遍历 10 个结点，现在只需要遍历 7 个结点。

从这个例子里，我们看出，加了一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。那如果我们再加一级索引呢？效率会不会提升更多呢？我们在第一级索引的基础之上，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。现在我们再来查找 16，只需要遍历 6 个结点了，需要遍历的结点数量又减少了。

当链表的长度 n 比较大时，比如 1000、10000 的时候，在构建索引之后，查找效率的提升就会非常明显。这种链表加多级索引的结构，就是跳表。

复杂度分析

1. 跳表的时间复杂度

我们知道，在一个单链表中查询某个数据的时间复杂度是 O(n)。那在一个具有多级索引的跳表中，查询某个数据的时间复杂度是多少呢？先把问题分解一下，先来想下，如果链表里有 n 个结点，会有多少级索引呢？

假设每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数就是 n/2，第二级索引的结点个数就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，第 k级索引结点的个数就是 n/(2k)。假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n/(2h)=2，从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层，那整个跳表的高度就是 log2n。我们在跳表中查询某个数据时，如果每一层都要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。

那这个 m 的值是多少呢？按照前面这种索引结构，我们每一级索引都最多只需遍历 3 个结点，即 m=3。因为假设我们要查找的 x 在第 k 级索引中，我们遍历到 y 结点后发现 x 在 y 和 z 之间，所以通过 y 的 down 指针下降到第 k-1 级索引，y 和 z 之间只有 3 个结点（因为我们每隔两个节点就建立一个索引），所以我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。

通过上面的分析，我们得到 m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。换句话说，我们其实是基于单链表实现了二分查找，不过这种查询效率的提升，前提是建立了很多级索引，也就是空间换时间的设计思路。

2. 跳表的空间复杂度

比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，所以肯定要消耗更多空间。下面，我们就来分析一下跳表的空间复杂度。假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。

这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说，如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。

那有没有什么办法降低索引占用的内存空间呢？我们前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果我们每三个结点或五个结点抽一个结点到上级索引，是不是就不用那么多索引结点了呢？

从图中看到，第一级索引需要约 n/3 个结点，第二级索引需要约 n/9 个结点。假设最高一级的索引结点个数是 1。我们把每级索引的结点个数都写下来，也是一个等比数列。通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是 n/2。尽管空间复杂度还是 O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。

实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。因为在实际软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，索引占用的额外空间就可以忽略了。

高效的动态插入和删除

实际上，跳表这个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。那如何在跳表中插入一个数据，以及它是如何做到 O(logn) 时间复杂度的？

1. 动态插入

在单链表中，一旦确定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是 O(1)。但是，这里为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时。

对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是，对于跳表来说，因为查找某个结点的时间复杂度是 O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置，时间复杂度也是 O(logn)。

2. 动态删除

如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的结点。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。如果我们用的是双向链表，就不需要考虑这个问题了。

3. 跳表索引动态更新

当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某两个索引结点之间数据会非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。

作为一种动态数据结构，我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作性能下降。如果你了解红黑树、AVL 树这样平衡二叉树，你就知道它们是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡，而跳表是通过随机函数来维护这个“平衡性”的。

当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中，那如何选择加入到哪些索引层中呢？我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。

这里，随机函数的选择很有讲究，从概率上来讲，要能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。

代码实现：

public class SkipList {
    /** 最大层数 */
    private static final int MAX_LEVEL = 16;
    /** 当前层数 */
    private static int levelCount = 1;
    /** 头节点 */
    private static final Node head = new Node();
    /**
     * 查找
     */
    public static Node find(int value) {
        Node p = head;
        // 从最顶层开始，遍历每层查找
        for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
            while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
                p = p.forwards[i];
            }
        }
        if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
            return p.forwards[0];
        } else {
            return null;
        }
    }
    /**
     * 插入
     */
    public static void insert(int value) {
        // 随机生成层数
        int level = randomLevel();
        Node newNode = new Node();
        newNode.data = value;
        newNode.maxLevel = level;
        // update数组用来保存新节点的所有层数上，每个索引节点的前一个节点的信息
        Node[] update = new Node[level];
        for (int i = 0; i < level; ++i) {
            // 先循环将新节点的每层索引节点指向头节点
            update[i] = head;
        }
        Node p = head;
        // 从level层开始，从头节点开始遍历向后查找，索引节点要插入的位置
        for (int i = level - 1; i >= 0; --i) {
            while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
                p = p.forwards[i];
            }
            update[i] = p;
        }
        // 修改指针，插入索引层节点
        for (int i = 0; i < level; ++i) {
            newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i];
            update[i].forwards[i] = newNode;
        }
        // 更新当前层高
        if (levelCount < level) levelCount = level;
    }
    /**
     * 删除
     */
    public static void delete(int value) {
        Node[] update = new Node[levelCount];
        Node p = head;
        // 从最高层开始，遍历每层查找要删除的元素
        for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
            while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
                p = p.forwards[i];
            }
            // 这里即使不是给定元素也会放到update数组中
            update[i] = p;
        }
        // 遍历update数组进行删除，update数组的每个元素不一定是给定元素，因此删除前需要进行判断
        if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
            for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
                if (update[i].forwards[i] != null && update[i].forwards[i].data == value) {
                    update[i].forwards[i] = update[i].forwards[i].forwards[i];
                }
            }
        }
        while (levelCount > 1 && head.forwards[levelCount] == null){
            levelCount--;
        }
    }
    /**
     * 该 randomLevel 方法会随机生成 1~MAX_LEVEL 之间的数，且 ：
     * 50%的概率返回 1
     * 25%的概率返回 2
     * 12.5%的概率返回 3 ...
     */
    private static int randomLevel() {
        int level = 1;
        while (Math.random() < 0.5f && level < MAX_LEVEL) {
            level += 1;
        }
        return level;
    }
    public static class Node {
        private int data = -1;
        // forwards数组用于存储该节点所有层的下一个节点的信息
        private final Node[] forwards = new Node[MAX_LEVEL];
        private int maxLevel = 0;
    }
}