算法复杂度包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系。越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。
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大 O 复杂度表示法

假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢？

  1. int cal(int n) { 
  2.     int sum = 0; 
  3.     int i = 1; 
  4.     int j = 1; 
  5.     for (; i <= n; ++i) { 
  6.         j = 1; 
  7.         for (; j <= n; ++j) { 
  8.             sum = sum + i * j; 
  9.         } 
  10.     } 
  11. }

第 2、3、4 行代码，每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 5、6 行代码循环执行了 n 遍，需要 2n * unit_time 的执行时间，第 7、8 行代码循环执行了 n2 遍，所以需要 2n2 * unit_time 的执行时间。所以，整段代码总的执行时间为 T(n) = (2n2+2n+3) * unit_time。

尽管我们不知道 unit_time 的具体值，而且，每一条语句执行时间 unit_time 可能都不尽相同。但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得知：所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。我们可以把这个规律总结成一个公式：T(n) = O(f(n))。其中，T(n) 表示代码执行的总时间，n 表示数据规模，f(n) 表示每条语句执行次数的累加和，这个值与 n 有关，因此用 f(n) 这样一个表达式来表示。

大 O 时间复杂度实际上表示的是代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以也叫时间复杂度。当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示上面那段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n2)。

时间复杂度

1. 如何分析？

1）只关注循环执行次数最多的一段代码
时间复杂度表示的是一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。

2）加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。我们将这个规律抽象成公式就是：如果 T1(n) = O(f(n))，T2(n) = O(g(n))；那么 T(n) = T1(n) + T2(n) = max(O(f(n)), O(g(n))) = O(max(f(n), g(n))).

3）乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

  1. int cal(int n) { 
  2.     int ret = 0; 
  3.     int i = 1; 
  4.     for (; i < n; ++i) { 
  5.         ret = ret + f(i); 
  6.     } 
  7. } 
  9. int f(int n) { 
  10.     int sum = 0; 
  11.     int i = 1; 
  12.     for (; i < n; ++i) { 
  13.         sum = sum + i; 
  14.     } 
  15.     return sum; 
  16. }

我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作，那第 4～6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) T2(n) = O(nn) = O(n2)。

2. 常见复杂度实例分析

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O(1)
O(1) 是常量级时间复杂度的一种表示方法。只要代码执行时间不随 n 的增大而增长，那么这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。一般只要算法中不存在循环、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

O(logn)、O(nlogn)
对数阶时间复杂度非常常见，但它是最难分析的时间复杂度之一。下面通过一个例子来解释下：

  1. i=1; 
  2. while (i <= n) { 
  3.     i = i * 2; 
  4. }

从上述代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束，那么总共执行了多少次循环呢？还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：
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当 2x > n 时，循环结束。所以我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2x=n 求解得到 x=log2n（以 2 为底 n 的对数），所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。

实际上，无论是以 2 或 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都统一记为 O(logn)。因为对数之间是可以互相转换的，log3n = log32 log2n，所以 O(log3n) = O(log32 log2n)，因为 log32 是一个常量，可以忽略掉，所以 O(log2n) = O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们可以忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

O(m+n)、O(m*n)
有时代码的复杂度是由两个数据的规模来决定，m 和 n 是表示两个数据规模。因为我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候就不能简单地利用加法法则去省略掉其中一个。针对这种情况，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m) T2(n) = O(f(m) f(n))。

空间复杂度

时间复杂度的全程是渐进时间复杂度，表示的是算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度的全称是渐进空间复杂度，表示的就是算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

下面通过具体例子来解释下空间复杂度：

  1. void print(int n) {
  2.   int i = 0;
  3.   int[] a = new int[n];
  4.   for (i; i <n; ++i) {
  5.     a[i] = i * i;
  6.   }
  7.   for (i = n-1; i >= 0; --i) {
  8.     print out a[i]
  9.   }
  10. }

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，简单了解即可。

时间复杂度分析

下面对时间复杂度介绍 4 个更加细分的复杂度概念：最好情况时间复杂度（best case time complexity）、最坏情况时间复杂度（worst case time complexity）、平均情况时间复杂度（average case time complexity）、均摊时间复杂度（amortized time complexity）。

1. 最好、最坏情况时间复杂度

  1. // n表示数组array的长度
  2. int find(int[] array, int n, int x) {
  3.   int i = 0;
  4.   int pos = -1;
  5.   for (; i < n; ++i) {
  6.     if (array[i] == x) pos = i;
  7.   }
  8.   return pos;
  9. }

可以看到，这段代码要实现的功能是，在一个无序的数组（array）中，查找变量 x 出现的位置。如果没有找到，就返回 -1。分析可得知这段代码的复杂度是 O(n)，其中，n 代表数组的长度。

但实际上，我们在数组中查找一个数据，并不需要每次都把整个数组都遍历一遍，因为有可能中途找到就可以提前结束循环了。上面这段代码写得不够高效，我们可以这样优化一下。

  1. // n表示数组array的长度
  2. int find(int[] array, int n, int x) {
  3.   int i = 0;
  4.   int pos = -1;
  5.   for (; i < n; ++i) {
  6.     if (array[i] == x) {
  7.        pos = i;
  8.        break;
  9.     }
  10.   }
  11.   return pos;
  12. }

此时，这段代码的时间复杂度还是 O(n) 吗？由于要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了，那时间复杂度就是 O(1)。但如果数组中不存在变量 x，那我们就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)。所以，不同的情况下，这段代码的时间复杂度是不一样的。

为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度，我们需要引入三个概念：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度。顾名思义，最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。即在最理想的情况下，要查找的变量 x 正好是数组的第一个元素，这个时候对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度。同理，最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。即如果数组中没有要查找的变量 x，我们需要把整个数组都遍历一遍才行，所以这种最糟糕情况下对应的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度。

2. 平均情况时间复杂度

最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率其实并不大。为了更好地表示平均情况下的复杂度，我们需要引入平均情况时间复杂度的概念。

还是借助刚才查找变量 x 的例子来解释下。要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：
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在时间复杂度的大 O 标记法中，可以省略掉系数、低阶、常量，所以这个公式简化之后，得到的平均时间复杂度就是 O(n)。

这个结论虽然是正确的，但计算过程稍微有点儿问题。因为我们刚讲的这 n+1 种情况，实际上出现的概率并不是一样的。我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。因此，前面的推导过程中存在的最大问题就是，没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去，那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样：
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这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。引入概率之后，前面那段代码的加权平均值为 (3n+1)/4。用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。

3. 均摊时间复杂度

均摊时间复杂度，听起来跟平均时间复杂度有点儿像。前面说过，大部分情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均三种复杂度。平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到，而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限。

 // array表示一个长度为n的数组，代码中的array.length就等于n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;

 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }

    array[count] = val;
    ++count;
 }

上面代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，我们用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。那这段代码的时间复杂度是多少呢？

最理想的情况下，数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 O(1)。最坏的情况下，数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。

那平均时间复杂度是多少呢？答案是 O(1)，假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。此外，还有一种额外情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：
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对于这个例子。在分析平均复杂度时没有引入概率论的知识。这是为什么呢？因为 find() 函数在极端情况下，复杂度才为 O(1)，但 insert() 在大部分情况下，时间复杂度都为 O(1)。只有个别情况下，复杂度才为 O(n)。其次，对于 insert() 函数来说，O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个 O(n) 插入之后，紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作，循环往复。所以，针对这样一种特殊场景的复杂度分析，我们并不需要考虑概率。

针对这种特殊的场景，我们引入了一种更加简单的分析方法：摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字，叫均摊时间复杂度。我们还是继续看在数组中插入数据的这个例子。每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大致思路。

总结一下摊还分析法的应用场景：对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。