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动态规划

1、子序列：不要求连续子序列，只要保证元素前后顺序一致即可；
2、上升：这里的“上升”是“严格上升”，类似于 [2, 3, 3, 6, 7] 这样的子序列是不符合要求的；
一个序列可能有多个最长上升子序列，题目中只要我们求这个最长的长度。如果使用回溯搜索，选择所有的子序列进行判断，时间复杂度为 $O( (2^n) * n )$。

状态定义

定义状态：LIS(i) 表示以第 i 个数字为结尾的最长上升子序列的长度。即在 [0, ..., i] 的范围内，选择以数字 nums[i] 结尾可以获得的最长上升子序列的长度。关键字是：以第 i 个数字为结尾，即我们要求 nums[i] 必须被选取。反正一个子序列一定要以一个数字结尾，那我就将状态这么定义，这一点是重要且常见的。

状态转移方程

遍历到索引是 i 的数的时候，我们应该把索引是 [0, ... ,i - 1] 的 LIS 都看一遍，如果当前的数 nums[i] 大于之前的某个数，那么 nums[i] 就可以接在这个数后面形成一个更长的 LIS 。把前面的 i 个数都看了， LIS[i] 就是它们的最大值加 $1$。即比当前数要小的那些里头，找最大的，然后加 $1$ 。
状态转移方程即：LIS(i) = max( 1 + LIS(j) if j < i and nums[i] > nums[j])
最后不要忘了，应该扫描一遍这个 LIS[i] 数组，其中最大的就是我们所求的。

  1. package main
  3. import (
  4.     "fmt"
  5. )
  7. func max(a, b int) int {
  8.     if a > b {
  9.         return a
  10.     }
  11.     return b
  12. }
  14. func lengthOfLIS(nums []int) int {
  15.      dp :=make([]int,len(nums))//定义规则 dp[i] 到i表达当前最大的升序
  16.      maxLen := 0
  17.      for i:=0;i<len(nums);i++{
  18.           dp[i] =1
  19.           for j:=0;j<i;j++{
  20.              if nums[j]<nums[i] { // 遍历i的子串 如果存在升序
  21.                  dp[i] = max(dp[j]+1,dp[i])
  22.              }
  23.          }
  24.          maxLen = max(maxLen,dp[i])
  25.      }
  26.      return maxLen
  27. }
  35. //300. 最长上升子序列 https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/
  36. func main() {
  37.     fmt.Println(lengthOfLIS([]int{10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18}))
  38. }

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