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笔记标题：MIT_LA_Lecture11

笔记版本：v1.0

对于文档的说明：

1. 你可以在我的Github仓库中下载本笔记的Markdwon源文档，并通过浏览目录进行更方便高效地浏览；也欢迎在知乎文章中进行浏览。
2. 本笔记参考的课程为MIT Linear Algebra（麻省理工线性代数），本课程在网易公开课、Bilibili和youtube等网站上都有视频资源，读者可以选择合适的平台观看。
3. 由于作者水平有限，笔记的内容、排版格式难免有不严谨的地方，希望读者能理解。

对于内容的说明：

1. 带箭头的小写字母表示的 即 维向量空间中的向量，比如 ；用小写的 等表示一般线性空间中的向量；用不带箭头的小写字母表示标量，比如 。除非在特殊说明的情况下，有序数组的向量都表示的是列向量。用 来表示行向量。

11.1 矩阵空间

11.1.1 矩阵空间

矩阵空间也是一个定义在数域 上的线性空间：定义矩阵空间 为 型矩阵构成的集合，矩阵之间存在加法运算和数乘运算，且仍得到 型矩阵。并且矩阵之间的加法运算和数乘运算满足线性空间定义的 8 条规律，所以矩阵空间是一个线性空间，矩阵空间的零元即 型零矩阵。

11.1.2 子空间

以所有定义在数域 上的 矩阵构成的矩阵空间 为例，它有以下这些很有意思的子空间：

对称矩阵空间

所有 的上三角矩阵构成的矩阵空间 是 的一个子空间，因为首先 是 的一个子集，并且两个对称矩阵相加仍是对称矩阵，对称矩阵乘一个数也仍是对称矩阵，即对 的加法和乘法封闭，所以 是 的一个子空间。

上三角矩阵空间

所有 的对称矩阵构成的矩阵空间 是 的一个子空间，因为首先 是 的一个子集，并且两个上三角矩阵相加仍是上三角对称矩阵，上三角矩阵乘一个数也仍是上三角矩阵，即对 的加法和乘法封闭，所以 是 的一个子空间。

11.1.3 矩阵空间的基和维数

一般矩阵空间

仍以所有定义在数域 上的 矩阵构成的矩阵空间 为例，它有一个包含 9 个向量的自然基：

为什么它是一组基呢？我们在《线性代数-线性空间的知识梳理》中已经回顾过，如果线性空间 内的一个向量组线性无关且 中所有向量都能由这个向量组线性表出，那么这个向量组是 的一个基。

而任意 矩阵都可以如下表示，且表法唯一：

所以（1）是 的一个基，相应地 。

当然这里并不是说（1）是唯一的一个基，还有无数其他基，我们只需要找出一个基就能确定线性空间的维数和结构了。

对称矩阵空间

仍以所有定义在数域 上的 矩阵构成的矩阵空间 为例，其对称矩阵子空间 基和维数如何确定呢？

我们可以很容易得到以下 6 个向量构成 的一个基：

因为这 6 个矩阵线性无关，且任意 对称矩阵都可以如下表示，且表法唯一：

所以（3）是 的一个基，相应地 。

同样我们强调， 的基不是只有这一个，但我们有一个基就够了，因为有一个基，基的维数就是子空间的维数，且子空间中所有向量都能由基唯一线性表出，就能研究这个子空间的结构了。

上三角矩阵空间

仍以所有定义在数域 上的 矩阵构成的矩阵空间 为例，其上三角矩阵子空间 基和维数如何确定呢？我们可以很容易得到以下 6 个向量构成 的一个基：

所以 。

11.1.4 子空间的交，和与维数定理

接下来到关键的地方了，建议先阅读《线性代数-线性空间的知识梳理》中子空间的交、和和维数定理等小节。

接下来我们研究矩阵空间 的子空间 和 的交，即 ，这个比较简单，易知 即对角矩阵，其维数明显为 3。

但若要直接研究 与 的和，即 ，这个就没有 那么直观了：

一种方法是通过定义，即

那么可以发现，对于任何一个 矩阵，它是可以表示成一个对称矩阵和一个上三角矩阵的和：

所以 ，因此 %3D9#card=math&code=dim%28S%2BU%29%3D9&height=16&width=94)。

另一种方法，为了确定 的维数，可以利用维数定理，即

%3DdimS%2BdimU-dim(S%5Ccap%20U)%0A%5Ctag%7B8%7D%0A#card=math&code=dim%28S%2BU%29%3DdimS%2BdimU-dim%28S%5Ccap%20U%29%0A%5Ctag%7B8%7D%0A&height=16&width=583)

这个公式中，%3D3%2Cdim%20S%3D6%2Cdim%20U%3D6#card=math&code=dim%28S%5Ccap%20U%29%3D3%2Cdim%20S%3D6%2Cdim%20U%3D6&height=16&width=221)，所以 %3D9#card=math&code=dim%20%28S%2BU%29%3D9&height=16&width=94)，而由 的定义可知，其本身就是 的一个子空间，且 ，所以 ，即 与 的和刚好覆盖了整个矩阵空间 。

这就是维数定理一个很好的应用，有时候直接分析两个子空间的和不容易，那么可以考虑通过维数定理先分别分析这两个子空间，再分析其交，这样就能得到 #card=math&code=dim%28S%2BU%29&height=16&width=70)，一旦我们知道一个子空间的维数 ，那么只要找到这个子空间中 个线性无关的向量，那么这 个向量就是子空间的一个基。

本小节除了介绍子空间的交，和和维数定理，另一方面是给出线性空间中元素一般性的例子，当然课堂中，老师还讲到了线性微分方程的解空间也是一个线性空间，这里不做具体介绍。

11.2 秩 1 矩阵

对秩为 1 的矩阵，也可以进行研究，比如秩为 1 的矩阵

我们从行向量的角度分解，可以等价表示为

我们有所有秩为 1 的矩阵可以表示为一列乘以一行的形式，即 。

之后的学习中，我们会认识到秩 1 矩阵行列式和特征值都会很简单。再讨论以下几个问题：

11.2.1 问题1

比如，一个 的矩阵的秩为 ，我们可以将其表示成 个秩 1 矩阵的组合，所以秩 1 矩阵很有用，它就像搭建其他矩阵的积木一样。

举个简单例子

%0A%5Ctag%7B11%7D%0A#card=math&code=A%3D%0A%5Cleft%5B%0A%09%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%091%20%26%202%20%26%202%20%26%202%20%5C%5C%0A%092%20%26%204%20%26%206%20%26%208%20%5C%5C%0A%093%20%26%206%20%26%208%20%26%2010%0A%09%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright%5D%3D%28%5Cvec%20a_1%2C%5Cvec%20a_2%2C%5Cvec%20a_3%2C%5Cvec%20a_4%29%0A%5Ctag%7B11%7D%0A&height=53&width=583)

通过初等行变换

所以 ， 的 1 和 3 列是列空间的一个基，其零空间：

%7D%3D%0A%5Cleft%5B%0A%09%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09-F%7Br%C3%97(n-r)%7D%20%5C%5C%0A%09I%7Bn-r%7D%20%0A%09%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright%5D%0A%3DN%7B4%5Ctimes2%7D%0A%3D%0A%5Cleft%5B%0A%09%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09%20-2%26%202%5C%5C%0A%091%26%200%5C%5C%0A%20%200%20%26%20-2%5C%5C%0A%20%200%26%201%5C%5C%0A%09%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright%5D%0A%5Ctag%7B13%7D%0A#card=math&code=N%7Bn%C3%97%28n-r%29%7D%3D%0A%5Cleft%5B%0A%09%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09-F%7Br%C3%97%28n-r%29%7D%20%5C%5C%0A%09I%7Bn-r%7D%20%0A%09%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright%5D%0A%3DN_%7B4%5Ctimes2%7D%0A%3D%0A%5Cleft%5B%0A%09%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09%20-2%26%202%5C%5C%0A%091%26%200%5C%5C%0A%20%200%20%26%20-2%5C%5C%0A%20%200%26%201%5C%5C%0A%09%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright%5D%0A%5Ctag%7B13%7D%0A&height=73&width=583)

由（11）第一列可知 ，则

%3D(%5Cvec%20a_1%2C2%5Cvec%20a_1%2C%5Cvec%200%2C-2%5Cvec%20a_1)%2B(%5Cvec%200%2C%5Cvec%200%2C%5Cvec%20a_3%2C2%5Cvec%20a_3)%0A%5Ctag%7B14%7D%0A#card=math&code=A%3D%28%5Cvec%20a_1%2C2%5Cvec%20a_1%2C%5Cvec%20a_3%2C-2%5Cvec%20a_1%2B2%5Cvec%20a_3%29%3D%28%5Cvec%20a_1%2C2%5Cvec%20a_1%2C%5Cvec%200%2C-2%5Cvec%20a_1%29%2B%28%5Cvec%200%2C%5Cvec%200%2C%5Cvec%20a_3%2C2%5Cvec%20a_3%29%0A%5Ctag%7B14%7D%0A&height=20&width=583)

即

这就将 分解成了两个秩 1 矩阵的和。

11.2.2 问题2

但 型矩阵所有秩 1 矩阵所构成的子集显然不是一个子空间。

11.2.3 问题3

我们来看这样一个定义在数域 上的列向量的集合 ：

它是 的子空间吗？

我们很容易验证它对加法和数乘运算都封闭，所以 是 的一个子空间。

那么，这个子空间结构是什么样子，换句话说，它的基和维数又是什么？

观察到 ，这很像求解 时将化成的列向量组的形式，那么可以构造一个 。这样，求 的维数就变成了求 的零空间的维数。而 ，所以 %3D3#card=math&code=rank%5Cspace%20N%28A%29%3D3&height=16&width=89)，即 。同理，我们可以求出 的一个基，即 #card=math&code=N%28A%29&height=16&width=32) 的一个基为：

%7D%3D%0A%5Cleft%5B%0A%09%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09-F%7Br%C3%97(n-r)%7D%20%5C%5C%0A%09I%7Bn-r%7D%20%0A%09%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright%5D%0A%3DN%7B4%5Ctimes3%7D%0A%3D%0A%5Cleft%5B%0A%09%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09-1%20%26%20-1%20%26%20-1%5C%5C%0A%091%20%20%26%200%20%20%26%200%5C%5C%0A%20%200%20%20%26%201%20%20%26%200%5C%5C%0A%20%200%20%20%26%200%20%20%26%201%0A%09%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright%5D%0A%5Ctag%7B17%7D%0A#card=math&code=N%7Bn%C3%97%28n-r%29%7D%3D%0A%5Cleft%5B%0A%09%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09-F%7Br%C3%97%28n-r%29%7D%20%5C%5C%0A%09I%7Bn-r%7D%20%0A%09%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright%5D%0A%3DN_%7B4%5Ctimes3%7D%0A%3D%0A%5Cleft%5B%0A%09%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%09-1%20%26%20-1%20%26%20-1%5C%5C%0A%091%20%20%26%200%20%20%26%200%5C%5C%0A%20%200%20%20%26%201%20%20%26%200%5C%5C%0A%20%200%20%20%26%200%20%20%26%201%0A%09%5Cend%7Bmatrix%7D%0A%5Cright%5D%0A%5Ctag%7B17%7D%0A&height=73&width=583)

图论放在下节中。