2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷（理科）（6月份） (1)

2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷（理科）（6月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数＝（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x||x﹣2|≤1}，则∁UM＝（　　）
A．（1，3） B．[1，3]
C．（﹣∞，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）
3．（5分）设Sn是等差数列的前n项和，且a_1＝1，_S_5＝25，则_a_2＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．5
4．（5分）保护生态环境是每个公民应尽的职责!某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的众数为（　　）

A．70 B．72.5 C．80 D．75
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入_k，n的值均是0，则输出T的值为（　　）

A．9 B．16 C．25 D．36
6．（5分）用数字1，2，3组成无重复数字的三位数，那么所有的三位数中是奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，平面上一点P满足PA＝1，PC＝，则＝（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
8．（5分）已知函数在（1，+∞）上有极值，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R＝（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）设A，B为双曲线Γ：的左，右顶点，F为双曲线Γ右焦点，以原点O为圆心，|OF|为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则tan∠AMB＝（　　）
A．4 B． C．2 D．
11．（5分）已知数列{a__n}满足an+1＝an+a__n﹣1（n≥2），又{a__n}的前项和为Sn，若S_6＝52，则_a_5＝（　　）
A．13 B．15 C．17 D．31
12．（5分）已知抛物线_C_1：和圆_C_2：（_x﹣6）2+（y﹣1）2＝1，过圆C_2上一点_P作圆的切线MN交抛物线C_1于_M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k＞1时的直线方程为（　　）
A．4x﹣3y﹣22＝0 B．4x﹣3y﹣16＝0
C．2x﹣y﹣11+＝0 D．4x﹣3y﹣26＝0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数y＝（2x_2+1）_ex在点（0，1）处的切线方程为　 　．
14．（5分）若实数x、y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为　 　．
15．（5分）一条河的两岸平行，河的宽度d＝4km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度|v_1|＝10_km/h，水流速度|v_2|＝2_km/h，那么行驶航程最短时，所用时间是　 　（h）．（附：≈2.449，精确到0.01h）．

16．（5分）已知函数，满足不等式在R上恒成立，在上恰好只有一个极值点，则实数ω＝　 　．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，若a+c＝，cosA＝，sinC＝．
（1）求sinB；
（2）求△ABC的面积．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC＝，AB＝4，BC＝3，CD＝，AD＝2，PA＝4．
（1）证明：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

19．（12分）已知椭圆Γ：的左，右焦点分别为F_1（，0），_F_2（，0），椭圆的左，右顶点分别为_A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k_1，_k_2，满足．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）若过椭圆Γ左顶点_A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA＝∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由．
20．（12分）由甲乙两位同学组成一个小组参加年级组织的篮球投篮比赛，共进行两轮投篮，每轮甲乙各自独立投篮一次，并且相互不受影响，每次投中得2分，没投中得0分．已知甲同学每次投中的概率为，乙同学每次投中的概率为．
（1）求第一轮投篮时，甲乙两位同学中至少有一人投中的概率；
（2）甲乙两位同学在两轮投篮中，记总得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和期望．
21．（12分）（1）已知实数a＞0，若关于x的不等式sinx﹣x_cos_ax≥0在0≤x≤上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若，求证：．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线C：（t为参数）上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C_2的极坐标方程为：．
（1）求曲线_C_1，_C_2的直角坐标下普通方程；
（2）已知点_Q在曲线C_2上，求|_PQ|的最小值以及取得最小值时P点坐标．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．已知f（x）＝|ax+1|，a∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，求实数a的值；
（2）若时，不等式f（x）≤2﹣|2x﹣1|恒成立．求实数a的取值范围．

2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷（理科）（6月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】解：因为复数＝＝＝i；
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．
2．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x||x﹣2|≤1}，则∁UM＝（　　）
A．（1，3） B．[1，3]
C．（﹣∞，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）
【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有
【分析】先求出M，再利用补集的定义求出结论．
【解答】解：因为全集U＝R，集合M＝{x||x﹣2|≤1}＝{x|﹣1≤x﹣2≤1}＝{x|1≤x≤3}，
∴∁UM＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，是对基本知识的考查．
3．（5分）设Sn是等差数列的前n项和，且a_1＝1，_S_5＝25，则_a_2＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．5
【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【分析】设等差数列{_a__n}的公差为d，由已知列式求得d，再由通项公式求a_2．
【解答】解：设等差数列{_a__n}的公差为d，
由a_1＝1，_S_5＝25，得25＝5×1+，即_d＝2．
∴a_2＝_a_1+_d＝3．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，是基础的计算题．
4．（5分）保护生态环境是每个公民应尽的职责!某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的众数为（　　）

A．70 B．72.5 C．80 D．75
【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有
【分析】利用众数的估计值为频率最大区间的区间中点值即可算出结果．
【解答】解：由频率分布直方图可知，这5组中[70，80）组的频率最大，所以众数为这一组的区间中点值，即众数是75，
故选：D．
【点评】本题主要考查了众数的估计值，是基础题．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入k，n的值均是0，则输出T的值为（　　）

A．9 B．16 C．25 D．36
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k＝0，n＝0，T＝0
满足条件k＜4，执行循环体，k＝1，n＝1，T＝0+12﹣02＝1
满足条件k＜4，执行循环体，k＝2，n＝2，T＝1+22﹣12＝4
满足条件k＜4，执行循环体，k＝3，n＝3，T＝4+32﹣22＝9
满足条件k＜4，执行循环体，k＝4，n＝4，T＝9+42﹣32＝16
此时，不满足条件k＜4，退出循环，输出T的值为16．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
6．（5分）用数字1，2，3组成无重复数字的三位数，那么所有的三位数中是奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【分析】基本事件总数n＝，其中奇数的个数m＝＝4，由此能求出所有的三位数中是奇数的概率．
【解答】解：用数字1，2，3组成无重复数字的三位数，
基本事件总数n＝，
其中奇数的个数m＝＝4，
∴所有的三位数中是奇数的概率为p＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，平面上一点P满足PA＝1，PC＝，则＝（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【分析】画出图形，建立直角坐标系，设出坐标，然后利用向量的数量积求解即可．
【解答】解：画出图形，并建立平面直角坐标系如图：
由题意可知A（0，0），B（0，3），C（4，3），D（4，0），
平面上一点P满足PA＝1，PC＝，PA＝1，PC＝，
可知P（x，y）的坐标满足，解得或，
当P（1，0），
此时＝（﹣1，3）•（3，0）＝﹣3，
当P（，）时，
＝（﹣，）•（，﹣）＝﹣×﹣×＝﹣3．
故选：A．

【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，考查转化思想以及计算能力，是基础题，
8．（5分）已知函数在（1，+∞）上有极值，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【分析】求导可得，设，依题意，f′（x）＝g（x）﹣a在（1，+∞）上有变号零点，令，则，由此即可求得a的取值范围．
【解答】解：，设，
∵函数f（x）在区间（1，+∞）上有极值，
∴f′（x）＝g（x）﹣a在（1，+∞）上有变号零点，
令，由x＞1可得lnx＞0，即t＞0，
得到，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查根据函数的极值求参数的取值范围，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题．
9．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【分析】由已知利用余弦定理求出BC，可得△ABC外接圆的半径，再由勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径．
【解答】解：∵AC＝3，AB＝4，∠BAC＝，
∴由余弦定理可得BC＝，
∴△ABC外接圆的半径r＝，
设球心到平面ABC的距离为d，则d＝PA＝1．
由勾股定理可得R＝，
故选：D．
【点评】本题考查多面体外接球半径的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．
10．（5分）设A，B为双曲线Γ：的左，右顶点，F为双曲线Γ右焦点，以原点O为圆心，|OF|为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则tan∠AMB＝（　　）
A．4 B． C．2 D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【分析】画出图形，利用双曲线的性质，求出M坐标，然后转化求解tan∠AMB即可．
【解答】解：由题意可知双曲线的图形如图：设A，B为双曲线Γ：的左，右顶点，F为双曲线Γ右焦点，以原点O为圆心，|OF|为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，
OM＝，OA＝2，tan∠MOA＝，
所以AM＝1，M（2，1），AB＝4，
所以在直角三角形ABM中，tan∠AMB＝＝＝4．
故选：A．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
11．（5分）已知数列{a__n}满足an+1＝an+a__n﹣1（n≥2），又{a__n}的前项和为Sn，若S_6＝52，则_a_5＝（　　）
A．13 B．15 C．17 D．31
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【分析】首先根据题意，将_S_6转化为_a_5的关系式，然后求出_a_5即可．
【解答】解：∵_an+1＝an+a__n﹣1（n≥2），
∴S_6＝_a_1+_a_2+_a_3+_a_4+_a_5+_a_6＝_a_3+_a_3+_a_4+_a_5+_a_5+_a_4
＝2（_a_3+_a_4）+2_a_5＝4_a_5＝52，
∴．
故选：_A．
【点评】本题考查了数列的递推公式，数列的求和问题，属基础题．
12．（5分）已知抛物线C_1：和圆_C_2：（_x﹣6）2+（y﹣1）2＝1，过圆C_2上一点_P作圆的切线MN交抛物线C_1于_M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k＞1时的直线方程为（　　）
A．4x﹣3y﹣22＝0 B．4x﹣3y﹣16＝0
C．2x﹣y﹣11+＝0 D．4x﹣3y﹣26＝0
【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【分析】设P（x_0，_y_0），_M（x_1，_y_1），_N（x_2，_y_2），代入抛物线的方程，由作差法可得直线_MN的斜率，结合中点坐标公式和P的坐标满足圆的方程，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，消去x_0，_y_0，可得_k的方程，结合选项的直线的斜率，代入求得P的坐标，检验是否满足圆的方程，即可得到所求直线的方程．
【解答】解：设P（x_0，_y_0），_M（x_1，_y_1），_N（x_2，_y_2），
可得_y_12＝_x_1，_y_22＝_x_2，
两式相减可得（_y_1﹣_y_2）（_y_1+_y_2）＝（_x_1﹣_x_2），
可得_k＝＝，
若点P为MN的中点，可得2y_0＝_y_1+_y_2，
即有_y_0＝，①
又（_x_0﹣6）2+（_y_0﹣1）2＝1，②
＝﹣，_k＞1，③
由①②③消去x_0，_y_0，可得（1+_k_2）（1﹣）2＝1，
由选项可得，当_k＝2时，y_0＝，_x_0＝，
代入②，不成立；
当_k＝时，y_0＝，_x_0＝，
代入②，成立．
此时直线_MN的方程为y﹣＝（x﹣），
即为4x﹣3y﹣26＝0．
故选：D．

【点评】本题考查抛物线和圆的方程的运用，考查直线和圆的位置关系、直线和抛物线的位置关系，主要考查方程思想和运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数y＝（2x_2+1）_ex在点（0，1）处的切线方程为　x﹣y+1＝0　．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由y＝（2x_2+1）_ex，得y′＝4xe__x+（2x_2+1）_ex＝（2x_2+4_x+1）ex．
∴y′|x＝0＝1，
则函数y＝（2x_2+1）_ex在点（0，1）处的切线方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0．
故答案为：x﹣y+1＝0．
【点评】本题考查利用导数研究故曲线上某点处的切线方程，关键是熟记导数的运算法则，是基础题．
14．（5分）若实数x、y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为　6　．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由实数x、y满足约束条件，作出可行域：
联立，解得A（3，0），
化z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为：6．
故答案为：6．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5分）一条河的两岸平行，河的宽度d＝4km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度|v_1|＝10_km/h，水流速度|v_2|＝2_km/h，那么行驶航程最短时，所用时间是　0.41　（h）．（附：≈2.449，精确到0.01h）．

【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【分析】利用河的宽度为4km，结合船的静水速度船的速度|v_1|＝10_km/h，水流速度|v_2|＝2_km/h，利用数列的减法运算求出和速度，即可求解行驶航程最短时所用时间．
【解答】解：如图：行驶航程最短时，就是船垂直到达对岸，
∴和速度为：v＝（km/h）≈9.796km/h．
∴行驶航程最短时，所用时间是：≈0.41h．
故答案为：0.41．

【点评】本题考查三角形的解法，实际问题的处理方法，是基本知识的考查．
16．（5分）已知函数，满足不等式在R上恒成立，在上恰好只有一个极值点，则实数ω＝　　．
【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【分析】因为不等式在R上恒成立，所以，可解得①，又函数f（x）在上恰好只有一个极值点，所以，解得1＜ω≤2②，结合①②可得，当k_1＝2，_k_2＝3时，．
【解答】解：∵不等式在R上恒成立，∴，
∴，即①，
∵函数_f（x）在上恰好只有一个极值点，
∴，即，
∴1＜ω≤2②，
结合①②可得，当k_1＝2，_k_2＝3时，．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．（12分）△_ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，若a+c＝，cosA＝，sinC＝．
（1）求sinB；
（2）求△ABC的面积．
【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有
【分析】（1）由已知结合同角平方关系及和差角公式即可求解；
（2）由已知结合正弦定理可求b，进而可求a，然后结合三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，由，知：．
所以sinB＝sin（A+C）＝sinA_cos_C+sinC_cos_A
＝＝；
（2）由正弦定理可知：，即，因此b＝1．
由b＝1，及，可知a＝2．
所以△ABC的面积为．
【点评】本题主要考查了同角平方关系及和差角公式，正弦定理的应用，属于中档试题．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC＝，AB＝4，BC＝3，CD＝，AD＝2，PA＝4．
（1）证明：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【分析】（1）依题意，可得AD⊥CD，由线面垂直的性质可得PA⊥CD，进而得证；
（2）利用等体积法求出B点到直线PC的距离，进而求得二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
【解答】解：（1）在平面ABCD中，，，，
∴，即AD⊥CD，
又PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，
又AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD．………………．（6分）
（2）在平面ABCD中，过A 作BC的平行线交CD的延长线于M，
∵.，，，，
又，则，
由VP﹣BCM＝VB﹣PCM可知：S△BCM•PA＝S△PCM•hB﹣PCM
即，则，
在△BPC中，B点到直线PC的距离
设二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，则
所以．………………．（12分）

【点评】本题考查线面垂直的判定以及二面角的求解，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）已知椭圆Γ：的左，右焦点分别为F_1（，0），_F_2（，0），椭圆的左，右顶点分别为_A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k_1，_k_2，满足．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）若过椭圆Γ左顶点_A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA＝∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【分析】（1）设P（x_0，_y_0），利用直线的斜率关系，结合，求解_a，b，然后求解椭圆方程．
（2）设直线AM和AN的方程分别为y＝k（x+2）和，
设M（xM，yM），N（xN，yN），联立直线方程与椭圆方程，求出M、N的坐标，设x轴上存在一定点Q（t，0），使得∠MQA＝∠NQA成立，kQM+k__QN＝0，转化求解即可．
【解答】解：（1）设P（x_0，_y_0），则_y_02＝_b_2（1﹣），
，，
则，
∴椭圆Γ的标准方程为．
（2）由（1）知_A（﹣2，0），且直线AM和AN的斜率存在，
设直线AM和AN的方程分别为y＝k（x+2）和，
设M（xM，yM），N（xN，yN），
联立，
∵直线AM和椭圆Γ交于A，M两点
∴，
∴，
∴，
同理，
设x轴上存在一定点Q（t，0），使得∠MQA＝∠NQA成立，kQM+k__QN＝0，
，
则yM•xN+y__N•xM＝（yM+y__N）•t，，，
可得t＝﹣6，
因此x轴上存在一定点Q（﹣6，0），使得∠MQA＝∠NQA成立．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
20．（12分）由甲乙两位同学组成一个小组参加年级组织的篮球投篮比赛，共进行两轮投篮，每轮甲乙各自独立投篮一次，并且相互不受影响，每次投中得2分，没投中得0分．已知甲同学每次投中的概率为，乙同学每次投中的概率为．
（1）求第一轮投篮时，甲乙两位同学中至少有一人投中的概率；
（2）甲乙两位同学在两轮投篮中，记总得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和期望．
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【分析】（1）利用相互独立数据的概率的乘法，求解概率，结合对立事件的概率求解即可．
（2）求出P（ξ＝X+Y），然后求解期望即可．
【解答】解：（1）第一轮投篮时，甲乙两位同学中都没有投中的概率为
甲乙两位同学中至少有一人投中的概率为．
（2）对甲：，，
对乙：，，，

	Y＝0	Y＝2	Y＝4	P（X＝j）
X＝0
X＝2
X＝4
P（Y＝i）

记p（ξ＝X+Y）：则有，，，，，
所以，．
【点评】本题考查离散型随机变量的的概率的求法，期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．
21．（12分）（1）已知实数a＞0，若关于x的不等式sinx﹣x_cos_ax≥0在0≤x≤上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若，求证：．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【分析】（1）设，问题可以转化为f（x）≥0，在0≤x≤上恒成立，先求f（x），再求f″（x）＝sinx•cos﹣ax[（3a﹣1）+a（a+1）tan2x]，分两种情况：①在时，②在时，分析f″（x）的正负，f′（x）的增减，得f（x）的增减，进而得f（x）的函数值取值范围．是否符合题意，进而得出结论．
（2）设，对g（x）求函数导数得：g′（x）＝2（﹣），由（1）可知当a＝时，sinx﹣x_cos_x≥0在0≤x≤上恒成立，得≥在0≤x≤上恒成立，g′（x）≥0，g（x）在上为增函数，则g（x）≤g（），进而得出结论．
【解答】证明：（1）设，
则若关于x的不等式sinx﹣x_cos_ax≥0在0≤x≤上恒成立，
可以转化为f（x）≥0，在0≤x≤上恒成立，
对f（x）求函数导数得：

f″（x）＝（1﹣a）cos﹣ax•（﹣sinx）+2a_sin_x•cosx_cos﹣_a﹣1x+a_sin2_x•（﹣a﹣1）•cos﹣a﹣2x•（﹣sinx）
＝（1﹣a）cos﹣ax•（﹣sinx）+2a_sin_x•cos﹣ax﹣a_sin3_x•（﹣a﹣1）•cos﹣a﹣2x
＝sinx•cos﹣ax[（3a﹣1）+a（a+1）tan2x]，
①在时，有f‘’（x）≥0，则f′（x）在为增函数，而f′（0）＝0
∴f′（x）≥f′（0）＝0，
因此f（x）在为增函数，
有f（x）≥f（0）＝0
从而f（x）≥0．
所以符合要求．
②在时，

由f‘’（x）＝0可知：，
令，，
因此f′（x）在（0，x_0）为减函数，则_f′（x）≤0，f（x）单调递减，
于是有f（x）≤f（0）＝0在（0，x_0）恒成立，从而矛盾，
因此不符合．
综合讨论可知：．
（2）设，
对_g（x）求函数导数得：

由（1）可知当a＝时，sinx﹣x_cos_x≥0在0≤x≤上恒成立，
即sinx≥x_cos_x在0≤x≤上恒成立，
所以sin3x≥x_3cos_x在0≤x≤上恒成立，
即≥在0≤x≤上恒成立，
可知：g′（x）≥0，
∴g（x）在上为增函数，
则g（x）≤g（）＝1﹣．
【点评】本题考查导数的综合应用，三角函数化简，属于中档题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线C：（t为参数）上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C_2的极坐标方程为：．
（1）求曲线_C_1，_C_2的直角坐标下普通方程；
（2）已知点_Q在曲线C_2上，求|_PQ|的最小值以及取得最小值时P点坐标．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用点到直线的距离公式的应用和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：（1）由C_1：消去参数_t得到，
所以曲线C_1的直角坐标方程为．
由曲线_C_2：ρsinθ﹣3ρcosθ＝2，根据，整理得直角坐标方程为：_y＝3x+2．
（2）设，
则P到直线C_2：_y＝3x+2的距离为，
当t＞0时，，当t＜0时，，
所以当t＜0，且t＝﹣时，整理得，
此时．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．已知f（x）＝|ax+1|，a∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，求实数a的值；
（2）若时，不等式f（x）≤2﹣|2x﹣1|恒成立．求实数a的取值范围．
【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【分析】（1）由绝对值不等式的解法和已知解集，讨论a≤0，a＞0，结合方程解法，可得a的值；
（2）由题意可得|ax+1|+|2x﹣1|≤2在恒成立，所以|ax+1|≤2x+1，转化为﹣2x﹣2≤ax≤2x，再由参数分离和恒成立思想，可得a的范围．
【解答】解：（1）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2，又f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，
所以当a＝0时，不合题意；
当a＜0时，≤x≤﹣，有，则a∈∅，不合题意；
当a＞0时，﹣≤x≤，
即有，
解得a＝2；
（2）因为|ax+1|+|2x﹣1|≤2在恒成立，
所以|ax+1|≤2x+1，即﹣（2x+1）≤ax+1≤2x+1，
即﹣2x﹣2≤ax≤2x，
所以，
由①，得a≤2；
由②，得在恒成立，所以．
因为，所以a≥﹣6．
综上可知，实数a的取值范围为﹣6≤a≤2．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
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