问题阐述

一个完整的项目往往会包含很多代码源文件。编译器在编译整个项目的时候，需要按照依赖关系，依次编译每个源文件。比如，A.cpp 依赖 B.cpp，那在编译的时候，编译器需要先编译 B.cpp，才能编译 A.cpp。编译器通过分析源文件或者程序员事先写好的编译配置文件（比如 Makefile 文件），来获取这种局部的依赖关系。那编译器又该如何通过源文件两两之间的局部依赖关系，确定一个全局的编译顺序呢？

算法解析

生活举例：在穿衣服的时候都有一定的顺序，衣服与衣服之间有一定的依赖关系。必须先穿袜子才能穿鞋，先穿内裤才能穿秋裤。假设我们现在有八件衣服要穿，它们之间的两两依赖关系已经很清楚了，那如何安排一个穿衣序列，能够满足所有的两两之间的依赖关系？

这就是个拓扑排序问题。从这个例子中可以看出，拓扑排序的序列并不是唯一的。
源文件与源文件之间的依赖关系这个问题的解决思路与“图”这种数据结构的一个经典算法“拓扑排序算法”有关。抽象成一个有向图，每个源文件对应图中的一个顶点，源文件之间的依赖关系就是顶点之间的边。如果 a 先于 b 执行，也就是说 b 依赖于 a，那么就在顶点 a 和顶点 b 之间，构建一条从 a 指向 b 的边。而且，这个图不仅要是有向图，还要是一个有向无环图，也就是不能存在像 a->b->c->a 这样的循环依赖关系。因为图中一旦出现环，拓扑排序就无法工作了。实际上，拓扑排序本身就是基于有向无环图的一个算法。
实现拓扑排序的两种方法：Kahn 算法和DFS 深度优先搜索算法

1.Kahn 算法

Kahn 算法实际上用的是贪心算法思想。
定义数据结构的时候，如果 s 需要先于 t 执行，那就添加一条 s 指向 t 的边。所以，如果某个顶点入度为 0， 也就表示，没有任何顶点必须先于这个顶点执行，那么这个顶点就可以执行了。
先从图中，找出一个入度为 0 的顶点，将其输出到拓扑排序的结果序列中（对应代码中就是把它打印出来），并且把这个顶点从图中删除（也就是把这个顶点可达的顶点的入度都减 1）。循环执行上面的过程，直到所有的顶点都被输出。最后输出的序列，就是满足局部依赖关系的拓扑排序。

2.DFS 算法

图上的深度优先搜索我们前面已经讲过了，实际上，拓扑排序也可以用深度优先搜索来实现。不过这里的名字要稍微改下，更确切的说法应该是深度优先遍历，遍历图中的所有顶点，而非只是搜索一个顶点到另一个顶点的路径。
这个算法包含两个关键部分。第一部分是通过邻接表构造逆邻接表。邻接表中，边 s->t 表示 s 先于 t 执行，也就是 t 要依赖 s。在逆邻接表中，边 s->t 表示 s 依赖于 t，s 后于 t 执行。
第二部分是这个算法的核心，也就是递归处理每个顶点。对于顶点 vertex 来说，先输出它可达的所有顶点，也就是说，先把它依赖的所有的顶点输出了，然后再输出自己。

时间复杂度

从 Kahn 代码中可以看出来，每个顶点被访问了一次，每个边也都被访问了一次，所以，Kahn 算法的时间复杂度就是 O(V+E)（V 表示顶点个数，E 表示边的个数）。
DFS 算法的时间复杂度我们之前分析过。每个顶点被访问两次，每条边都被访问一次，所以时间复杂度也是 O(V+E)。
注意，这里的图可能不是连通的，有可能是有好几个不连通的子图构成，所以，E 并不一定大于 V，两者的大小关系不确定。所以，在表示时间复杂度的时候，V、E 都要考虑在内。

总结引申

拓扑排序应用非常广泛，解决的问题的模型也非常一致。凡是需要通过局部顺序来推导全局顺序的，一般都能用拓扑排序来解决。除此之外，拓扑排序还能检测图中环的存在。对于 Kahn 算法来说，如果最后输出出来的顶点个数，少于图中顶点个数，图中还有入度不是 0 的顶点，那就说明，图中存在环。
关于图中环的检测，比如在查找最终推荐人的时候，可能会因为脏数据，造成存在循环推荐，比如，用户 A 推荐了用户 B，用户 B 推荐了用户 C，用户 C 又推荐了用户 A。如何避免这种脏数据导致的无限递归？实际上，这就是环的检测问题。因为每次都只是查找一个用户的最终推荐人，所以并不需要动用复杂的拓扑排序算法，而只需要记录已经访问过的用户 ID，当用户 ID 第二次被访问的时候，就说明存在环，也就说明存在脏数据。
如果把这个问题改一下，数据库中的所有用户之间的推荐关系了，有没有存在环的情况。这就需要用到拓扑排序算法了。把用户之间的推荐关系，从数据库中加载到内存中，然后构建成今天讲的这种有向图数据结构，再利用拓扑排序，就可以快速检测出是否存在环了。