62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
image.png

解题思路

动态规划分两个步骤：数学归纳法也是这个思路==微积分也是==就是遍历，不过是有一些记忆+分治+最优选择
1.找出边界
2.找出递推关系式

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(mn)。

  • 空间复杂度：O(mn)，即为存储所有状态需要的空间。注意到 f(i, j)f(i,j) 仅与第 ii 行和第i−1 行的状态有关，因此我们可以使用滚动数组代替代码中的二维数组，使空间复杂度降低为 O(n)。此外，由于我们交换行列的值并不会对答案产生影响，因此我们总可以通过交换 m 和 n 使得m≤n，这样空间复杂度降低至 O(min(m,n))。

    1. //1，定义边界+ 函数关系式，时空都O(mn)
    2. func uniquePaths(m int, n int) int {
    3.   dp := make([][]int, m+1)
    4.   for i := 0; i <= m; i++ {
    5.       dp[i] = make([]int, n+1)        //初始化dp数组，DP[i][j]表示从点[1][1]走到[i][j]有多少种方法
    6.   } 
    8.   for i := 0; i< m; i++ {             //定义矩阵最左边的边界
    9.       dp[i][0] = 1
    10.   }
    11.   for j := 0; j< n; j++ {             //定义矩阵最上边的边界
    12.       dp[0][j] = 1
    13.   }
    15.   for i := 1; i < m; i++ {        //注意，此时不取等于号= ！，因为返回的是n-1。 其实两个都做了初始化，可以取=
    16.       for j := 1; j < n; j++ {
    17.           dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]      //递推函数关系式
    18.       }
    19.   }
    20.   return dp[m-1][n-1]                             //走到右下角时，就是结果
    21. }
//滚动数组 或者压缩为一维，优化空间On
func uniquePaths(m int, n int) int {
    dp:=make([]int,n)

    for j := 0; j<n; j++{
        dp[j]=1                         //1, 容易想到dp【j】，因为最后返回dp【n-1】
    }

    for i:=1; i < m; i++{                   //2, 对i遍历，j进行记忆化 。严格来说这里m不能取=，n可以取=
        for j:=1; j < n; j++{               //dp切片存储的是上一个次计算的值(外层for循环一次的值)
            dp[j]=dp[j] + dp[j-1]         //在计算当前次 的时候正好可以复用dp切片, 一直复用计算
        }
    }
    return dp[n-1]
}