1. 定义

反对称矩阵又称（斜对称矩阵）是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身的加法逆元相等。

或写作，各元素的关系为：

例如，下例为一个写对称矩阵：

在SLAM学习中，一个向量可以映射到一个反对称矩阵，从向量到反对称矩阵的映射符号通常用符号来表示，比如对于向量，其反对称矩阵为：

另外一个小tips，反对称符号在latex的表示为\hat{}或者\wedge。

2. 反对称矩阵与叉乘

设有向量和，则叉乘和反对称化的关系如下：

以及反交换律：


同时有以下性质成立：

3. 反对称矩阵的行列式

若A是的反对称矩阵，其行列式满足：

• 如果n是奇数，行列式等于0。这个结果叫雅克比定理。
• 若n是偶数，行列式可以写成部分元素的多项式的平方，这个称为Pfaffian行列式。

4. 反对称矩阵的乘法

4.1 反对称矩阵连乘

假设向量，其为单位向量，即，则易推出：

继续连乘：

更多的连乘可以用以上规律进行推导。

4.2 反对称矩阵与矩阵相乘

定义向量和任意矩阵C，则有如下公式成立：

5. 反对称矩阵的加法

设有向量和，则有运算：

6. 无穷小旋转

斜对称矩阵形成了正交群O(n)在单位矩阵的切空间。在某种意义上，斜对称矩阵可以视为无穷小旋转。
另外一种说法是，斜对称矩阵的空间形成了李群O(n)的李代数o(n)。这个空间上的李括号由交换子给出：

很容易验证，两个斜对称矩阵的交换子也是斜对称的。
于是，斜对称矩阵A的矩阵指数，是正交矩阵R：

李代数的指数映射的像总是位于含有单位元的李群的连通分支内。在李群O(n)的情况中，这个连通分支是特殊正交群SO(n)，由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此R = exp(A)的行列式为+1。于是，每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。

参考：
https://en.wikipedia.org/wiki/Skew-symmetric_matrix