首先什么是自由度？

先看看维基百科)的解释：数学上，自由度是一个随机向量的维度数，也就是一个向量能被完整描述所需的最少单位向量数。举例来说，从电脑屏幕到厨房的位移能够用三维向量来描述，因此这个位移向量的自由度是3。自由度也通常与这些向量的坐标平方和，以及卡方分布中的参数有所关联。

那为什么不用（假设为电脑屏幕到厨房方向的单位向量）来表示呢？在这个例子里，位移是三维空间的位移，在三维空间位移这个约束下，最少需要三个方向向量的多项式和才能表示三维空间中所有的位移，而电脑屏幕到厨房是特例，只用不能表示三维空间中的其他位移。

再看例子：

• 若存在两个变量a和b，而a+b=6，那么他的自由度为1。因为其实只有a才能真正的自由变化，b会被a选值的不同所限制。在这个例子中a+b=6就是约束。满足这个约束的情况下，自由度只有1，另一个变量值会根据约束确定。

那么我个人总结，自由度是n个变量在某个约束的情况下，能够自由变化的最少变量个数m为该约束下的自由度。

什么是矩阵的自由度？

原文请看这里：英文原文
有几种方式来思考矩阵的自由度。

考虑一个m*n的矩阵。这个矩阵有mn个元素/变量。我们可以改变mn个数值来构造处mn个互相不同的矩阵，所以它有mn个自由度。

如果我们有一个上三角矩阵，维度是m*m，自由度等于多少？我们知道在这个矩阵里很多值都是0，实际上只有个非0元素/变量，所以这个值就是上三角矩阵的自由度。

如果我们有一个22的旋转矩阵，自由度等于多少？这对矩阵中可能的值施加了巨大的限制。确实，一旦其中一个值确定了之后，其他的所有值都被确定了。这个旋转矩阵只有一个自由度。从几何的角度很容易看出来：一个22的旋转矩阵只能旋转一个角度，所以1就是它的自由度。