基本概念

数学大厦

数学的三个层次

• 基础数学：中小学
• 纯数学：公式推理
• 应用数学：天体物理等应用

小学数学

初中数学

各年级知识点框架

最基本的练习

基础题 : 中档题 : 高档题 = 8 : 1 : 1 或 7 : 2 : 1 分配

九大教学环节

1. 听（老师讲学生听）
2. 讲（学生讲老师听）
3. 聊（小组讨论）
4. 抄（整理笔记）
5. 解（解决问题）
6. 写（写作创作）
7. 读（阅读）
8. 背（重复性操作性）
9. 暇（闲时遐思）

一个很好的解题思路

1. 找出所有已知条件，
2. 写下已知条件，
3. 看看要解的题和已知条件有哪些关系（要用到学过的法则定义公式）
4. 一步步地把每一个已知条件用上（因为已知条件而得到的所以）。
5. 养成：“因为这个——所以怎样—-”这种解题思路。

三部曲

阅读理解（找隐喻）-> 抽象成式 -> 化解得解

《书》

数学之美

文字和语言 vs. 数字和信息

自然语言处理 - 从规则到统计

统计语言模型

中文分词

隐马尔可夫模型

信息的度量和作用

现代语言处理

布尔代数和搜索引擎的索引

图论和网络爬虫

PageRank - 民主表决

相关性

有限状态机和动态规划 - 地图/本地搜索

AK-47

新闻的分类

信息指纹

密码学

搜索引擎的反作弊问题

数学模型

最大熵

拼音输入法

不隆过滤器

贝叶斯网络

维特比算法

期望最大化算法

逻辑回归

各个击破算法

程序员的数学

0 的故事

逻辑 - 二元世界

余数

归纳法

排列组合

递归

指数爆炸

不可解问题

解决问题

数学犹聊天

魔鬼数学

二战，不希望自己的飞机被敌人的战斗机击落，因此我们要为飞机披上装甲。但是，装甲会增加飞机的重量，这样，飞机的机动性就会减弱，还会消耗更多的燃油。防御过度并不可取，但是防御不足又会带来问题。在这两个极端之间，有一个最优方案。军方把一群数学家聚拢在纽约市的一个公寓中，就是想找出这个最优方案。

需要加装装甲的地方不应该是留有弹孔的部位，而应该是没有弹孔的地方，也就是飞机的引擎。

这些弹孔应该都在那些未能返航的飞机上。胜利返航的飞机引擎上的弹孔比较少，其原因是引擎被击中的飞机未能返航。大量飞机在机身被打得千疮百孔的情况下仍能返回基地，这个事实充分说明机身可以经受住打击(因此无须加装装甲)。

如果我们在每架飞机上找到的弹孔数都不超过一个，这意味着什么呢?这并不表明美军飞行员都是躲避敌军攻击的高手，而说明飞机中弹两次就会着火坠落。

导致弹孔问题的是一种叫作“幸存者偏差”(survivorship bias)的现象。这种现象几乎在所有的环境条件下都存在。

数学是常识的衍生物

线性

瑞典模式

线 = 直线？

不是所有的线都是直线

政府的税率 -> 税收 => 反抛物线，顶点前为正比，顶点后为反比，

(里根)经常说:“‘二战’期间，我通过拍电影赚了大钱。”当时，战时收入附加税高达90%。里根说:“拍了4部电影之后，我的所得税率就到了最高等级。于是，我在完成了4部电影的拍摄之后就不再工作，跑到乡下度假去了。”高税收导致人们怠工，而税率低则会刺激人们积极工作。他的这段经历证明了这个道理。

巴基斯坦大起义 -> 1074人死亡/7520人受伤 : 美国5万人死亡/30万人受伤，

17世纪欧洲30年战争 -> 全世界1%人口死亡 : 7000万现代人口 > 两次世界大战 => 暴力水平下降

私立高中学费 vs. 入学考试平均分 -> 28 : 1

到2048年，所有的美国人都会变成胖子，

圆的周长

内接N边形，外切N边形，
阿基米德 vs. 牛顿
边长无限小的多边形，导弹的飞行轨迹，如果没有外力，会延直线飞行。

冰激凌商店

芝诺悖论：永远无法走到冰淇凌店。
这与另一个难题非常相似：循环小数0.99999……是否等于 1?

推理

显著性检验

我们需要做一个实验：找到100个实验对象，从中随机选取50个人，让他们服用我们研发的新药，剩下的50个人则服用安慰剂。我们显然希望服药病人的死亡率低于服用安慰剂的病人。

如果我们观察到服药病人的死亡率低于服用安慰剂的病人，我们就可以宣布新药研发成功，并向美国食品和药品管理局(FDA)递交上市申请。但是，这个观点是错误的。仅仅证明数据与理论相一致还不够，还要证明数据与反面理论不一致，也就是要排除讨厌的零假设。比如，我宣布自己拥有超能力，可以让太阳从地平线上升起。如果你想验证我的这个说法，只要在早晨5点钟时走到户外，就能看到我的超能力！但是，这样的证据根本谈不上是证据，因为根据零假设，即使我没有任何超能力，太阳也会照样升起。

如果我说自己可以让太阳不升起来，结果太阳真的没有出现，这就说明我得到了一个在零假设前提下极为不可能的结果。

圣经密码

1994年搞笑诺贝尔奖，《圣经》隐藏秘密，32个宗教领袖出生日期，总理被刺杀的准确时间 => 畅销书《圣经密码》

希伯来文圣经去掉所有标点符号，形成一长串字符，经特定算法形变成小字符串 => “秘密”。

Elon Mask 自动驾驶事故，1次不足以说明概率。

股票预测

手热效应

篮球比赛中真的存在“手热效应”吗?

4次投篮可能产生16种序列：第一次投篮的结果可能是H，也可能是M，无论是哪种结果，又都会在第二次投篮时分别产生两种可能的结果，因此前两次投篮会产生4种可能的结果(HH，HM，MH，MM)。

优秀:HHHH，MHHH，HMHH，HHMH，HHHM。
中等:HHM，HMHM，HMMH，MHHM，MHMH，MMHH。
较差:HMMM，MHMM，MMHM，MMMH，MMMM。

脸书上的恐怖分子

问题1：如果某人不是恐怖分子，那么他出现在脸谱网黑名单上的概率是多少?
问题2：如果某人出现在脸谱网黑名单上，那么他不是恐怖分子的概率是多少?

期望值

1000万张彩票，售价2元一张，只有一个号码中奖，奖金总额600万，那么每一张彩票的期望价值为0.6元。

回归

无法拒绝平庸

在很多随机因素的影响下，某项特征最终会回归到平均水平。

身高马大

拿出一张白纸，用尺子和笔在上面画出坐标轴，横轴表示孩子的身高，纵轴表示父亲的身高， 并标记出对应每个孩子及其父亲身高的那个点。

存在

民意不存在

假设全体投票人中有1/3的人认为，我们应当在不削减政府开支的前提下，通过提高税率的方法解决预算赤字问题；还有1/3的人认为，我们应当削减国防开支；其余的人则认为，我们应当大幅削减医疗福利。

乐在其中

古算·逻辑·游戏·竞赛

1. 桃子一个要三文钱，李子一个要四文钱，而橄榄一文钱可以买七个，若拿一百文钱去买这三种果子，每种都得买，又恰好买一百个，问每种应各买几个?

不定方程组一般有无限多组解，但其整数解、正整数解，往往是有限的。像此题只有唯一一组正整数解。

有位老师取出写着1到10的十张卡片，每张一数，不重不漏，像洗牌一样打乱它们的排列顺序，然后把赵、钱、孙、李、周五位同学叫到讲台前，发给每人两张卡片，叫他们把自己手里两张卡片上的数字之和写在黑板上：

几何·图形

啊哈·灵机一动

1. “甲和乙从东西两地同时出发，相对而行，两地相距100千米。甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，几小时两人相遇？如果甲带了一只狗，和甲同时出发，狗以每小时10千米的速度向乙奔去，遇到乙后立即回头向甲奔去；遇到甲又回头向乙奔去，直到甲、乙两人相遇时狗才停住。请问：这只狗共奔了多少千米路?”

1. x + y + z = 20, C(19,2) = 171

概率·运筹·对策

幻方

递推·循环·回归·RMI

故事

如果有一天，外星人到访地球，我们会以什么语言跟她交流？数学语言

电梯里面，代表楼层的数字旁边，是盲文数字

1）彩票的故事，1000万张彩票，售价2元一张，只有一个号码中奖，奖金总额600万，那么每一张彩票的期望价值为0.6元。如果降价大促销，0.5元一张，那么，花500万全部买下，中奖600万，净挣100万。花250万买下一半的彩票，有50%的概率中奖600万。数据差不明显，引申到另一个故事。某人有资格花100万参加某个晚宴，饭后抽奖，总金额1个亿，中奖概率50%。集中情况，a）自己花100万去抽奖。b）找朋友一起凑100万，中奖后平分奖金，风险收益共担，找几个朋友？c）把抽奖机会卖出去，售价多少合适？200万？4000万？9000万？d）签订协议，乙方出100万去抽奖，如果中奖拿出奖金的一部分给甲方，比例多少合适？

2）股票经纪人的故事，选10240个股民，分成两等份，一份告知某股票会涨，一份告知某股票会跌。结果出来后，猜对的那一部分股民，总数为上一次的一半，再分成两等份，继续上一次的手段操作，10次后，剩余的10人，会发现此经纪人连续10次猜中某股票的涨跌。

实际应用题

一元一次方程

1. 将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

2. 兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？

3. 有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长。

4. 有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2:3:5, 这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？

5. 某车间有16名工人每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个。在这16名工人中，一部分人加工甲种零件其余的加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元，若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件？

6. 某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了多少道题?

7. 某校高一年级有12个班。在学校组织的高一年级篮球比赛中，规定每两个班之间只进行一场比赛，每场比赛都要分出胜负，每班胜一场得2分，负一场得1分。某班要想在全部比赛中得18分，那么这个班的胜负场数应分别是多少？

8. 某轮船的静水速度为v千米/时，水流速度为m千米/时，则这艘轮船在两码头间往返一次顺流与逆流的时间比是？

9. 某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？

10. 一个三角形三边长之比为2 : 3 : 4，周长为36cm，求此三角形的三边长。

11. 包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶，问每天如何安排工人生产圆形和长方形铁片能合理地将铁片配套？

12. 日历问题，小张在某月的日历上圈出了相邻的三个数a、b、c,并求出了它们的和为33，这三个数在日历中的排布不可能是？

横向三个连续数字之间相差1，纵向三个连续数字之间相差7，由此可引申出下表的数量关系：

1. 互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为？

2. 2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为？

3. 例1某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机。已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元。

   1. 若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案。
   2. 若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？

4. 某班准备购置一些乒乓球和乒乓球拍，班主任李老师安排小明和小强分别到甲、乙两家商店咨询了同样品牌的乒乓球和乒乓球拍的价格，下面是小明、小强和李老师的对话。

小明：甲商店乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，每买一副乒乓球拍可以赠送一盒乒乓球。
小强：乙商店乒乓球和乒乓球拍的定价与甲商店一样，但乙商店可以全部按定价的九折优惠。
李老师：我们班需要乒乓球拍5副，乒乓球不少于5盒。
根据以上对话回答下列问题：

1. 当购置的乒乓球为多少盒时，甲、乙两家商店所需费用一样多？
2. 若需要购置30盒乒乓球，你认为到哪家商店购买更合算？

1. 学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。

2. 一组数列1、4、7、10、…，其中有三个相邻的数的和为66，求这三个数分别是多少？

动点问题

基础知识

1. 数轴上两点之间的距离，用绝对值来表示，即两点所表示的数差的绝对值。如，数轴上点 A，B 所表示的数是a，b，则 AB = |a-b| 或 AB = |b-a|。
2. 数轴上一个动点如何字母来表示。用有理数的加法或减法即可解决，就是起点所表示的数加上或减去动点运动的距离，向正方向用加，负方向用减。
3. 怎样求数轴上任意两点间的线段的中点。两点所表示的数相加的和除以2，如数轴上的点所表示的数是a, b，则线段 AB 的中点所表示的数是 AB = (a+b)/2。

解题步骤

第一步，用字母表示动点在数轴上所表示的数；
第二步，根据题目的需要写出有关该字母的代数式；
第三步，根据题目的意思列出方程，并解方程。

常见题型

1. A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推。这样第_次移动到的点到原点的距离为2018。

1. 如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点。
   1. 如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动。
      1. 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
      2. 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
   2. 若点Q以 ii 中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?

1. 如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是-1，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B。
   1. 如果OA=OB, 那么点B所对应的数是什么？
   2. 从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度。
   3. 从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数。

1. 在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170。

   1. 求A、B中点所表示的数。
   2. 一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数。
   3. 两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m处在A点处时，问电子青蛙n处在什么位置？
   4. 如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D点处相遇，求D点所表示的数。

2. 已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上-动点，其对应的数为x。

   1. 若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
   2. 数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
   3. 点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动。当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？

1. 如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为-2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为1秒。
   1. 当 t=0 秒时，AC的长为__，当 t=2 秒，AC的长为__
   2. 用含有 t 的代数式表示AC的长为__
   3. 当 t=__ 秒时AC - BD = 5，当 t=__秒时AC + BD = 15。
   4. 若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC = 2BD，若存在请求出 t 的值；若不存在，请说明理由。