零钱兑换

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的(完全背包)

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

输入：coins = [1], amount = 1
输出：1

输入：coins = [1], amount = 2
输出：2

说明:
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

思路分析：

• 题目只问最优值是多少，没有问最优具体解，一般情况可以考虑使用「动态规划」解决；
• 最优子结构其实比较明显，我们看示例 1：

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11

凑成面值为 11 的最小硬币数可以由以下三者的最小值得到：

• 凑成面值为 10 的最小硬币数（如果可以凑出，递归求解） + 面值为 1 的这一枚硬币；
• 凑成面值为 9 的最小硬币数（如果可以凑出，递归求解） + 面值为 2 的这一枚硬币；
• 凑成面值为 6 的最小硬币数（如果可以凑出，递归求解） + 面值为 5 的这一枚硬币。

综上：

这就是这个问题的最优子结构：在三种选择中选出一个最优解。

方法一：记忆化递归

友情提示：分析动态规划问题的最优子结构，和解决绝大多数算法问题一样，需要在纸上画草稿分析。

发现存在重复子问题：

方法二：动态规划

第 1 步：定义「状态」

dp[i] ：凑齐总价值 i 需要的最少硬币数。这里状态定义的形式就是题目问的问题。

第 2 步：推导「状态转移方程」

根据上述对具体例子的分析，我们将它形式化写出来：

** dp[amount] = min(dp[amount - coin[i]] + 1) for i in [0, len - 1] if coin[i] <= amount**

说明：

• 首先，当前考虑的这一枚硬币的面值要 小于等于 当前要凑出来的面值；
• 其次，新状态的值要参考的值以前计算出来的 有效 状态值。即：剩余的面值要能够凑出来，状态才可以转移，例如：求 dp[11] 需要参考 dp[10]，但是如果 dp[10] 不能凑出来，dp[10] 应该等于一个不可能的很大的值，可以设计为 11 + 1，也可以设计为-1，它们的区别只在具体的代码编写细节上。

第 3 步：考虑初始值

所有 dp 数组的值在初始化的时候，应该先假设凑不出来。由于要找的是最小值，所以初始化的时候应该设置为一个不可能的较大的数。

第 4 步：考虑输出值

最后一个状态值就是输出值。

/**
 * @param {number[]} coins
 * @param {number} amount
 * @return {number}
 */
const coinChange = function (coins, amount) {
  if (amount === 0) {
    return 0;
  }
  // 状态 dp [i] 是凑齐价值 i 需要的最少硬币数量
  let dp = new Array(amount + 1).fill(Infinity);
  dp[0] = 0;
  for (let coin of coins) {
    // 从 coin 开始，一直凑到 amount
    for (let i = coin; i <= amount; i++) {
      dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
    }
  }
  return dp[amount] === Infinity ? -1 : dp[amount];
};