300. 最长递增子序列

题目地址(300. 最长递增子序列)

https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/

题目描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
提示：
1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104
进阶：
你可以设计时间复杂度为 O(n2) 的解决方案吗？
你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

前置知识

公司

• 暂无

思路

我们的定义是这样的：dp[i] 表示以 nums[i] 这个数结尾的最长递增子序列的长度。
base case：dp[i] 初始值为 1，因为以 nums[i] 结尾的最长递增子序列起码要包含它自己
要思考如何设计算法逻辑进行状态转移，才能正确运行呢？这里就可以使用数学归纳的思想：
假设我们已经知道了 dp[0..4] 的所有结果，我们如何通过这些已知结果推出 dp[5] 呢？

根据刚才我们对 dp 数组的定义，现在想求 dp[5] 的值，也就是想求以 nums[5] 为结尾的最长递增子序列。
nums[5] = 3，既然是递增子序列，我们只要找到前面那些结尾比 3 小的子序列，然后把 3 接到最后，就可以形成一个新的递增子序列，而且这个新的子序列长度加一。
显然，可能形成很多种新的子序列，但是我们只选择最长的那一个，把最长子序列的长度作为 dp[5] 的值即可
总结一下如何找到动态规划的状态转移关系：
1、明确 dp 数组的定义。这一步对于任何动态规划问题都很重要，如果不得当或者不够清晰，会阻碍之后的步骤。
2、根据 dp 数组的定义，运用数学归纳法的思想，假设 dp[0…i-1] 都已知，想办法求出 dp[i]，一旦这一步完成，整个题目基本就解决了。
但如果无法完成这一步，很可能就是 dp 数组的定义不够恰当，需要重新定义 dp 数组的含义；或者可能是 dp 数组存储的信息还不够，不足以推出下一步的答案，需要把 dp 数组扩大成二维数组甚至三维数组

关键点

代码

• 语言支持：Java

Java Code:

class Solution {
        public int lengthOfLIS(int[] nums) {
            //定义dp数组 下标i位置的最长递增子列是dp[i]
            int[] dp = new int[nums.length];
            //base case 将每个数组元素初始为1 因为最长递增子列最少为1
            Arrays.fill(dp, 1);
            int res = 0;
            //外层遍历的是整个nums数组 旨在整个数组的每一个数字 都求出他的最大增长子序列
            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                //内层循环 循环的是当前外层锁定 想要求出在i之前比i在数组中的值要小的数 求出这个数就可以将i添加到之前求出的dp后面
                //也就是求出了新的最大增长子序列
                for (int j = 0; j < i; j++) {
                    if (nums[i] > nums[j]) {
                        dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                    }
                }
                //遍历整个dp数组 将其中最大的数字返回 这也就是我们想要的最大增长子序列
                res = Math.max(res, dp[i])
            }
            return res;
        }
    }

复杂度分析

令 n 为数组长度。

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：#card=math&code=O%28n%29&id=T6dfl)