快速排序

  1. void quick_sort(int q[], int l, int r)
  2. {
  3.     if (l >= r) return;
  5.     int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
  6.     while (i < j)
  7.     {
  8.         do i ++ ; while (q[i] < x);
  9.         do j -- ; while (q[j] > x);
  10.         if (i < j) swap(q[i], q[j]);
  11.     }
  12.     quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
  13. }

归并排序

  1. void merge_sort(int q[], int l, int r)
  2. {
  3.     if (l >= r) return;
  5.     int mid = l + r >> 1;
  6.     merge_sort(q, l, mid);
  7.     merge_sort(q, mid + 1, r);
  9.     int k = 0, i = l, j = mid + 1;
  10.     while (i <= mid && j <= r)
  11.         if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
  12.         else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
  14.     while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
  15.     while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
  17.     for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
  18. }

整数二分

  1. bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
  3. // 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
  4. int bsearch_1(int l, int r)
  5. {
  6.     while (l < r)
  7.     {
  8.         int mid = l + r >> 1;
  9.         if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
  10.         else l = mid + 1;
  11.     }
  12.     return l;
  13. }
  14. // 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
  15. int bsearch_2(int l, int r)
  16. {
  17.     while (l < r)
  18.     {
  19.         int mid = l + r + 1 >> 1;
  20.         if (check(mid)) l = mid;
  21.         else r = mid - 1;
  22.     }
  23.     return l;
  24. }

浮点数二分

  1. bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
  3. double bsearch_3(double l, double r)
  4. {
  5.     const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
  6.     while (r - l > eps)
  7.     {
  8.         double mid = (l + r) / 2;
  9.         if (check(mid)) r = mid;
  10.         else l = mid;
  11.     }
  12.     return l;
  13. }

高精度加法

  1. // C = A + B, A >= 0, B >= 0
  2. vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
  3. {
  4.     if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
  6.     vector<int> C;
  7.     int t = 0;
  8.     for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
  9.     {
  10.         t += A[i];
  11.         if (i < B.size()) t += B[i];
  12.         C.push_back(t % 10);
  13.         t /= 10;
  14.     }
  16.     if (t) C.push_back(t);
  17.     return C;
  18. }

高精度减法

  1. // C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
  2. vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
  3. {
  4.     vector<int> C;
  5.     for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
  6.     {
  7.         t = A[i] - t;
  8.         if (i < B.size()) t -= B[i];
  9.         C.push_back((t + 10) % 10);
  10.         if (t < 0) t = 1;
  11.         else t = 0;
  12.     }
  14.     while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
  15.     return C;
  16. }

高精度乘低精度

  1. // C = A * b, A >= 0, b >= 0
  2. vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
  3. {
  4.     vector<int> C;
  6.     int t = 0;
  7.     for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
  8.     {
  9.         if (i < A.size()) t += A[i] * b;
  10.         C.push_back(t % 10);
  11.         t /= 10;
  12.     }
  14.     while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
  16.     return C;
  17. }

高精度除以低精度

  1. // A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
  2. vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
  3. {
  4.     vector<int> C;
  5.     r = 0;
  6.     for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
  7.     {
  8.         r = r * 10 + A[i];
  9.         C.push_back(r / b);
  10.         r %= b;
  11.     }
  12.     reverse(C.begin(), C.end());
  13.     while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
  14.     return C;
  15. }

一维前缀和

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

二维前缀和

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

一维差分

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

二维差分

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

位运算

求n的第k位数字: n >> k & 1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n

双指针算法

  1. for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
  2. {
  3.     while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
  5.     // 具体问题的逻辑
  6. }
  7. 常见问题分类：
  8.     (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
  9.     (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

离散化

  1. vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
  2. sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
  3. alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素
  5. // 二分求出x对应的离散化的值
  6. int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
  7. {
  8.     int l = 0, r = alls.size() - 1;
  9.     while (l < r)
  10.     {
  11.         int mid = l + r >> 1;
  12.         if (alls[mid] >= x) r = mid;
  13.         else l = mid + 1;
  14.     }
  15.     return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
  16. }

区间合并

  1. // 将所有存在交集的区间合并
  2. void merge(vector<PII> &segs)
  3. {
  4.     vector<PII> res;
  6.     sort(segs.begin(), segs.end());
  8.     int st = -2e9, ed = -2e9;
  9.     for (auto seg : segs)
  10.         if (ed < seg.first)
  11.         {
  12.             if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
  13.             st = seg.first, ed = seg.second;
  14.         }
  15.         else ed = max(ed, seg.second);
  17.     if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
  19.     segs = res;
  20. }