指数

定义

我们已经多次讨论了以下的问题：设 那么，必有正整数 使得
若 是使式 (1) 成立的最小正整数 则对任意的使式 (1) 成立的正整数 必有 即

Fermat-Eular 定理证明了：对任意的 当 时式 (1) 必成立。对给定的模 知 是由 唯一确定的，是 的函数

指数

设 则使式 (1) 成立的最小正整数 称为 对模 的指数（或阶），把它记作

原根

当 时，称 是模 的原根

性质

1. 若 则
2. 若式 (1) 成立，则有 即
3. ，
4. 若 且 则有
5. 若 则这 个数对模 两两不同余。特别地，当 是模 的原根时，这 个数是模 的一组既约剩余系
6. 设 是 对模 的逆，则
7. 设 是非负整数，则有此外，在模 的一个既约剩余系中，至少有 个数对模 的指数等于
8. 的充要条件是
9. 若 则有 若 则有
10. 设 那么，对任意的 必有 使得
11. 对任意的 一定存在 使得
12. 模 存在原根的必要条件是其中 是奇素数

证明