一次同余方程组，孙子定理

定义

解和解数

在讨论一次同余方程组之前，先引进一般同余方程组的解与解数的概念。设 是整系数多项式 我们把含有变数 的一组同余式
称为是同余方程组。若整数 同时满足
则称 是同余方程组 (1) 的解，显然这时同余类
中的任一整数也是同余方程组 (1) 的解，我们把这些解都看作是相同的，也常说同余类 (2) 是同余方程组的一个解，我们写为 是同余方程组 (1) 的解。当 均为同余方程组 (1) 的解且对模 不同余时才把它们看作是同余方程组 (1) 的不同解。我们把所有对 两两不同余的同余方程组 (1) 的解的个数称为是同余方程组 (1) 的解数，因此同余方程组 (1) 的解数至多为 且此外，只要同余方程组 (1) 中的任意一个同余方程无解，则 (1) 一定无解。

定理

孙子定理（中国剩余定理）

设 是两两既约的正整数。那么对任意整数 一次同余方程组
必有解，且解数为 1 。事实上，同余方程组 (3) 的解是
这里 以及 是满足
的一个整数（即是 对模 的逆）。

定理二

设 同孙子定理，再设
那么 遍历模 的完全（既约）剩余系的充要条件是 分别遍历模 的完全（既约）剩余系。此外

证明