自然数与整数

定义

自然数

自然数，有两种说法，其一说即正整数，不包含零，但在此知识库里，皆讨论另一情况，即自然数是包含零和正整数的。即
通常记为 且将正整数集合记为

整数

整数，即是指负整数，零，和正整数，即
通常记为

绝对值

绝对值是在整数中引入的，故讨论 有

性质

1. 在整数集合种可以作加法运算 及其逆运算减法运算 且其满足以下性质

• 结合律，即 都有
• 交换律，即 都有
• 消去律，即 都有
• 
• 对 必 使得 也即减法运算的定义

1. 在整数集合种也可以作乘法运算 但不一定可作其逆运算即除法运算，乘法运算满足以下性质

• 结合律，即 都有
• 交换律，即 都有
• 消去律，即 若有 则
• 
• 
• 分配律，即 都有 为简单起见 记为

1. 在整数中有大小（顺序）关系并用符号 等来表示，整数的顺序有以下性质

• 关系 有且仅有一个成立
• 自反性，即 都有
• 反对称性，即 若有 且 则有
• 传递性，即 若有 且 则有 且等号当且仅当 均成立时才成立
• 都有
• 若 则 等号当且仅当 时成立
• 都有
• 都有

1. 绝对值有以下性质

• 都有
• 都有

1. 自然数最本质的性质。设 是 的一个子集，若满足条件 且如果 则有 那么 即归纳原理，数学归纳法的基础。

定理

数学归纳法

设 是关于自然数 的一种性质或命题。如果

• 当 时 成立
• 由 成立可推出 成立

那么 对所有自然数成立。

最小自然数原理

设 是 的一个非空子集。那么必有 使得对 都有 即 是 中的最小自然数。

最大自然数原理

设 是 的一个非空子集。若 有上界，即存在 使得对 都有 那么必有 使得对 都有 即 是 中的最大自然数。

第二种数学归纳法

设 是关于自然数 的一种性质或命题。如果

• 当 时有 成立
• 设 若对于所有自然数 都有 成立，则必可推出 成立

那么 对所有自然数成立。

鸽巢原理

设 是一个自然数，现有 个盒子和 个物体。无论怎样把这 个物体放入这 个盒子中，一定有一个盒子中被放了两个或两个以上的物体。

证明

以上定理都是一些显然成立的基本定理，是初等数论的基础，在这里只证明鸽巢原理。

反证法，假设结论不成立，即每个盒子中至多有一个物体，那么这 个盒子中总共的物体个数 这和有 个物体放到这 个盒子中相矛盾，故得证。