最大共约数和最小公倍数

定义

公约数

设 是两个整数，如果 且 那么 就称为是 和 的公约数。一般地，设 是 个整数，如果有 那么 就称为是 的公约数。

设 是两个不全为零的整数。我们把 的公约数中最大的称为 的最大公约数，记作 。 一般地，设 是 个不全为零的整数。我们把 的公约数中最大的称为 的最大公约数，记作

互素

对两个整数 若有 则称 是既约的，也称互素的。一般地，若有 则称 是既约的，也称互素的。

公倍数

设 是两个均不等于零的整数。如果 且 则称 是 和 的公倍数。一般地，设 是 个整数，如果有 那么 就称为是 的公倍数。

设 是两个不全为零的整数。我们把 的公倍数中最小的称为 的最小公倍数，记作 。 一般地，设 是 个不全为零的整数。我们把 的公倍数中最小的称为 的最小公倍数，记作

定理

定理一

• 一般地，有
• 若 则有
• 对 有 一般地，有
• 对 有 一般地，有
• 若 是素数，则有一般地

  定理二三

1. 如果存在整数 使得 则 是既约的
2. 设正整数 我们有 特别地

定理四

• 一般地
• 若 则 若 则有
• 对任意 有

定理五到十二

1. 设 有
2. 的充要条件是
3. 设 是正整数。那么 的充要条件是

• 
• 若 则

1. 设 我们有
2. 以下两条

1. 设 则有
2. 设 若有 则
3. 

证明