算术基本定理

定理

前置定理

设 是素数且 那么 和 至少有一个成立，一般地，若 则 至少有一个成立

算术基本定理

设 那么必有
其中 是素数，且在不考虑次序的情况下，该表达式唯一，且将相同的素数合并后的式子
（其中 和式(1)中的不表示相同素数）称为 的标准素因数分解式。

证明

推论

1. 设 由式 (2) 给出，那么 是 的正除数的充要条件是
2. 设 由式 (2) 给出，且这里允许某个 或 为零，那么以及
3. 若 则
4. 设 是正整数且 表示 的所有正整数的个数（通常称为除数函数）。若 有标准素因数分解式(2) 则显然 可看作是 的情形，即上式对 也成立
5. 设 是正整数且 表示 的所有正除数之和。那么 当 有标准素因数分解式 (2) 时

引理

设 是定义在正整数集合上的复值函数，正整数 由式 (2) 给出，那么

证明