7. 计算机逻辑电路解析

每个时代，都不会亏待会学习的人。

对于我们程序员来说计算机的重要性不言而喻，相信大家对计算机内部也有一定的了解。
但是大家有没想过为什么一堆逻辑门组合起来就能运算了？它是如何运作来实现加减法的？
为什么 cpu 会不停地取指执行？是什么在驱动着它？

今天我就和大家一起来探索一下底层的奥秘，但是术业有专攻，我们大致地了解一下即可，很多细节不清晰也不影响。

不过相信通过这篇文章你会对底层有不一样的认识，包括运算单元、内存、时钟、地址、溢出、补码等等。

先打个预防针吧，这篇文章有很多电路图，你可能感觉这啥啊，和我们开发有关系吗？

看下去你会懂的，虽说平日里我们都是 CRUD Boy，但是我们也得时刻保持着好奇心，要有求知欲和探索精神。

1. 从”电“说起

这个故事得从「电」开始说起。

生活中电无处不在，而它却时刻保持着神秘感，为何插上电我们的屏幕就会亮？我们的服务器就能跑？
电是如何来的？

电起源于电子的运动，我们知道一切物质都是由原子组成的，而原子又是由中子、质子和电子构成。

在某种情况下电子从原子中电离出来，这样电就产生了。
质子和电子都具有带电荷的特性，质子带正电荷、电子带负电荷。
而异电相吸，同电相斥，当质子数和电子数相等的时候是最稳定的，如果数量不平衡也会往趋于平衡的方向发展。

像雷雨天气，云层下层积累电子而云层顶层失去电子，而闪电就是大量的电子迅速从一端转移到另一端产生的结果，为了趋于平衡。

题外话 ：细心的朋友可能看到这原子核质子不都合在一起了啊，不是说同电相斥嘛？这是因为有个叫强内力的玩意聚集了它们，释放核能的原子核裂变就是由强内力导致的。

相信大家都做过电池点亮灯泡的物理实验。

这其实就是电池发生化学反应，在负极产生多余的电子，然后通过回路中的原子类似接力的形式，一个原子得到电子之后会传递给相邻的另一个原子，如此循环传递电路就形成了，最终通过灯泡到达电池的正极。
改装下再套上个外壳，手电筒就这样被造出来了。

而手电筒不仅仅可以用来照明，还能用来通信。相信大家都看过类似的电影场景，我这手电筒的光闪三下咱们就上！

而说到这样简易的通信就不得不提摩尔斯电码，相信大家也从各渠道对摩尔斯电码有一定的了解，比如「星际穿越」这部贼好看的电影。

1. 电报的原理

在 19 世纪初期，那时候的远距离通信还得利用马车等工具长时间运输传递，人们一直在摸索即时远距离通信的方法。那时的摩尔斯就开始埋头实验，最终发明了电报。

电报的思想和上述说的手电筒思想一样，手电筒通信的思想是通过开关来控制灯的亮暗，而电报利用的是电磁现象。

将导线缠绕在铁棒上，然后通电之后铁棒就变成了磁铁，断电了磁性又会消失，然后再搞个发声器，通过磁性来吸引可动棒敲击发声。

通电后可动棒被拉下，敲击下方就会发出 “滴” 的声音，断电则可动棒复位，敲击上方发出 “嗒” 的声音。将快速的滴答作为点，慢速的滴答作为划。
通过导线的长距离连接就能实现远距离通信，通过判别点和划的组合查阅摩尔斯电码表，转成最终的信息。

如果要双向通信，就再搞一个反过来部署就好了，这就是电报机了。
不过导线是有电阻的，导线越长电阻越大，所以是有距离限制的，不过这难不倒我们，最简单的方法就是转发一下。

3. 继电器原理

在中间距离也建个电报站，然后雇一个人，得到发送方的电报信息之后，重新敲一遍发送给真正的接收方，但是这需要多余的人力，所以可以如下图所示，搞个棒子连起来带动下一个开关的输出。

这其实就是继电器原理，我们来看看继电器是如何设计的。

下方通电产生磁力，吸引上方的金属杆挂下，然后上方形成回路因此也通电了，这样远距离传输的微弱电流就被又一次放大输出了，所以最终的远距离电报应该是这样的。

可以看到继电器这个发明是真的巧妙。

3. 电路与二进制

理解了上面所述的电的生成、电报以及继电器之后我们再来看看二进制。
基于二进制的数字系统是最简单的，只有 0 和 1，不能再进一步简化了，而简单就代表着清晰，就像开关要么开要么关。
而二进制的组合又可以代表多种可能，比如第一个 0 表示男，1 表示女 ，第二个 0 表示胖，1 表示瘦。
让我们再回到之前的电池电灯图中，这次搞两个开关。

3.1 and 和 or 的电路原理

可以得知两个开关都闭合电灯才会亮，如果转化成二进制表示，0 表示开关断开，1 表示开关闭合，0 表示灯泡不亮，1 表示灯泡亮，总结成一张表格的话就是：

这其实就是我们熟知的 AND 操作，如果把电路稍微改一下就是 OR 操作了。

3.2 逻辑门-继电器的组合

如果把很多开关组合起来就能执行简单的逻辑任务，但是开关需要手动地去控制。

记得之前提到的继电器吗？它也能串联或者并联电路，而且可以被其他继电器联动控制，不需要一个一个拨动，因此用继电器来组合更加合适，而继电器的组合称之为逻辑门。

简单点的就像下图所示，开关闭合灯泡就会亮。

有些人觉得这不是多此一举吗，这其实是个缓冲器，可以延迟信号，也可以放大信号，而且这个电路比较简单，实际上有很多组合，比如下图的这个反向操作，开关闭合的灯反而不会亮。

还有像这样的串联组合，只有两个开关都闭合灯泡才会亮。

当然这里的输入不一定得是开关，输出也不一定得是灯泡，只是为了更加直观地表现出来，不过这样画电路太麻烦了，于是电气工程师们就搞了个符号来表示这些电路，比如上面的串联其实就是 AND 操作，是与门。

简化一下上面的图就变成下面的样子。

如果电路图如下所示，就是并联，随便一个开关开了灯泡都会亮，这就是或门。

简化符号是这样的：

前面还提到个反向操作的，开关闭上灯泡反而不亮的叫反向器，符号如下图所示。

反向的操作的输出端的头部加了一个小圆圈。

我们再来看看这样的电路。

只有当两个开关都断开的情况下灯泡才会亮，任何一个开关闭合灯泡都会熄灭，这个操作和 OR 操作相反，称之为 NOR 即或非门，简化后的符号比或门多了个小圆圈，代表反向。

或者这样，组合着画也一样。

然后我们再来看看这种电路，只有两个开关都断开才会熄灭，这和与门正好相反，称之为 NAND 与非门。

简化符号是这样的，也是多了个小圆圈：

我再总结一下这几个简化图，加深一下印象。

4. 二进制加法机

有了上面这几样东西，我们就可以造个二进制加法机，不要小看加法，因为可以用加法来实现减法、乘法、除法等操作。
加法我们知道会得到当前的和、进位这两个信息，例如二进制中 1 + 1，当前和是 0 ，进位 1。

可以看到只有 1 +1 进位 1 ，再仔细看看是不是和 AND 操作很像？只有 1 AND 1 结果才为1 。

我们再来看看当前和的计算：

大家可以在脑子里面想象下，如果拿 OR 操作来套用的话右下角结果不对，如果是 NAND 操作的话左上角结果不对，所以得两个结合一下，电路图如下。

分别通过或门和与非门之后再做与门，出来的结果就是当前和的结果，这个其实就是 XOR 异或门，简化表示就是：

所以加法需要通过两个逻辑门，分别是异或门来操作当前和，与门来操作进位，结合起来如下图所示：

这其实就是个半加器，简化的图如下所示：

那为什么叫半加器？因为只能一位一位地加，而前一位的进位参与不到下一位的计算，如果要加入进位那下一位的运行就是 A 的当前位 + B 的当前位 + A 和 B 之前的进位。

因此需要改装一下，两个半加器合起来再加一个或门。

假设 A 输入 1 ， B 输入 1， 进位输入 1，从最左边开始第一个半加器 S 输出 0 ， CO 输出 1，第二个半加器 S输出 1，CO 输出 0，最终和输出 1，进位输出 1，结果没毛病可行，这叫全加器，简化一下图：

全加器有了，咱们得组合起来，并且需要有输入和输出，我们通过开关来输入数字，由灯泡的亮暗显示结果。

这就是一个 8 位的计算器，有 9 个灯是因为两个 8 位相加结果可能是 9 位。

然后从最右边开始如下图所示接上全加器，进位接地表示 0 输入。

中间的都如下接法，前一个的进位输出是下一位的进位输入。

最后一个就是把进位输出直接接到第九个灯上就行了。

此时你摆动控制面板的开关，就可以通过机器得到相加的结果。简化的画法如下图所示：

现在我们已经造出了八位加法器了，如果要 16 位呢？简单合一下就好了。

当然真实的计算机原理差不多是这样的，不过会更复杂，比如不会像我们的加法器，一个一个地进位加，而是会先行进位，而且也不会用继电器，而是晶体管等等。

6. 减法怎么弄？

加法器我们搞出来了，那减法怎么做？减法需要有借位操作。

我们先拿熟悉的十进制来说。假设你的账户上限是499，你的透支额度是500，也就是说你的账户金额范围是 -500~499 这 1000 个数字，要求不能用负号来表示。

可以看到这是个三位数，而最大值就到 499 过，说明 500~999 之间的数没用，那拿来表示负数不就刚刚好吗？
所以让 500 表示 - 500 ，501 表示 -499，以此类推。
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500,501.......998,999,000,001......498,499，让5、6、7、8、9开头的数都代表负数，而且是不是看起来还形成了个环形， 499 + 1 就变成 500 了，然后 999 + 1 变成 1000 ，但是只能三位数表示，所以溢出了变成 000。

这种处理叫 10 的补数，如果要把三位负数转为 10 的补数，就是让 999 减去它再加一，也就是说 10 的补数等于 9 的补数加一。

补数的概念：拿 9 的补数来说，将一个数从一串 9 中减去得到的结果就叫这个数 9 的补数，比如 123 ，它是三位数 ，999-123 = 876 ，所以 123 的 9 的补数就是 876，如果把结果 + 1那就是 10 的补数了。

就拿 -499 来说，我们要转化成补数，就是 999 - 499 + 1 等于 501 ，看上面的排列确实用 501 来代表 - 499。

那减去一个数不就是加上一个数的负数吗？所以通过补数我们就不需要做减法，只需要转成补数再相加就行了！
现在我们再换成二进制，二进制相比于十进制就更简单了。

拿八位二进制数来说，范围是 00000000~11111111， 对应的十进制是 0~255，但现在我们想让它能表示负数，前面十进制的时候我们将 5、6、7、8、9开头的正数来表示负数，对应于二进制我们可以将第一位以1开头的作为负数。

那此时的范围就是：

如果你理解了上面的十进制转化，这个二进制肯定是没问题的，这其实就是算出 2 的补数，而 2 的补数又是 1 的补数 +1。

我们拿 125 来举个例子，125 二进制表示是 01111101，求 1 的补数就是 11111111 - 01111101，这个减法在二进制中不需要，因为这其实就是求反，还记得上文提到的反向器吗？

取反了之后再加一，就得到 2 的补码。

所以 -125 就是 10000011。

当然这一切的前提都是数字的位数需要固定，所以计算机中的位数就是固定的，超出了就会溢出，到这里你应该可以理解计算机中的补码是怎么来的，而且理解了为什么最大值 +1会变成最小值？

所以减法我们只需要改造一下上面的加法器，给个开关表示这个数是负数，如果是负数则进行一波反向器操作然后再 +1，之后再进行加法操作即可得到最终的结果。

乘法和除法我就不分析了，一样也能通过加减法来实现。

7. 振荡器（时钟）、锁存器（触发器）和计数器

当然这个和我们所认识的计算机还差很多，现在只能进行一些非常简陋的加减操作，别急我们先来看看这个电路。

这个电路很有意思，当你闭合开关的时候电路通了，此时由于电磁效应可动棒被吸了下来，电路就断了，断了之后磁性消失了可动棒又移了上去，这样电路又通了，如此往复。

这种电路叫振荡器，这是一个很关键的东西，记住它。

它的来回振荡其实就是在输出 0 和 1 的交替序列，画成图如下所示：

随着时间的变化在 0 和 1之间交替变化，因此也称之为时钟。

一个变化循环所需要的时间称之为周期，频率是周期的倒数，如果周期是 0.05 秒，那么频率就是 20，每秒 20 个循环，用赫兹来作其单位，所以就是 20 Hz。

我们再来看下这个电路。

此时灯泡是不亮的。当上面的开关闭合后，左边的或非门输出 0 ，右边的或非门输出是 1，因此灯泡亮了。神奇的地方来了，此时你断开上面的开关，灯泡依然是亮的，因为左边的或非门输出还是 0，而或非门只要有一个输入是 1，输出就是 0 。

此时如果闭合下面的开关，灯泡就会熄灭，再断开下面的开关灯泡仍旧不亮。

可以看到这个电路是有记忆功能的，你看如果你发现此时的灯泡是亮的，你就能推断上一次闭合的是上面的开关，如果此时灯泡是暗的那么上次闭合的就是下面的开关！

这种电路叫触发器，其实上面的开关就等于置位(set)，下面的开关等于复位（Reset），所以这也叫 R-S触发器。

不过更有用的电路应该能记住某个特定时间点的上上一个信号是 0 是 1。

所以还需要搞个保持位，使得保持位关了之后，上下两个开关随意拨动都不影响之前保持结果（下面的图复位和置位位置和我们电路图是相反了，不过没影响，一样的）。


其实就是当保持位 0 的时候，复位和置位通过与门的输出肯定是 0 ，根本影响不到之前的结果。
但是这样就有三位输入了，比较麻烦。从上面的观察来看有意义的输入其实是上面开下面关，或者上面关下面开，所以一定是相反的。所以搞个反向器这样就只有两个输入了。

这个叫电平触发的D型触发器，D表示 Data，数据的输入。电平触发就是当保持位为某一个特定电平时 （例子是 1），触发器就会保存数据端的输入值。

理解了保持位之后，我们需要引入时钟（标志为 clk），一个有规律的来回变化的时钟，当时钟从 1 切换到 0 的时候上一次操作的内容就被保存了，所以把保持位的输入替换成时钟输入。

这样的电路叫做电平触发的D型锁存器，它表示电路锁存住一位数据，并保持到将来使用，它也称之为 1 位存储器。

有了 1 位存储器，那多位存储器就很简单了，就是将多个锁存器合在一起，如下图是八位锁存器。

这里还需要提一下边沿触发器，不同于电平触发器的是，边沿触发器是在 0 变成 1 的瞬间记录结果，像电平触发器是在 1 的时候，每个结果都会被覆盖性地记住，在某些场景下边沿触发器的瞬时性更合适。
电路图如下，由两级 R-S 触发器链接而成，其实这种电路，看得很乱，觉得很复杂，没事，知道结果就行了。

简化的画法如下：

然后我们再来看下这个电路：

将振荡器的输出作为时钟的输入，然后反向 Q 端（上图中下面的Q代表反向Q，图少了一横）的输入又作为 D 的输入。

出来的波形图是这样的，可以看到 Q 的输出频率是时钟的一半，所以这种电路称为分频器。
而分频器的输出又可以是下一个分频器的输入，我们再来看下这个图：

出来的波形图是这样的：

再填上 0 和 1：

从 Q3 开始每一列从下往上看，是不是 0000、0001、0010…. 这就是计数器，把 8 个集成一下放在黑盒中，就构成了 8 位的计数器。

当然这个计数器是异步的，后面的得等前面的通知，比较不准确，所以更好的是同步计数器，不过比较复杂，这里就不介绍了。

8. 简单组装一下

至此我们已经有了加法器、振荡器（时钟）、锁存器（触发器）和计数器，接下来我们就开始组装一下它们。

比如现在我们有一个灯泡，想测试一下八个锁存器，八个锁存器的话那么需要 3 个开关来表示具体选择哪个锁存器，2 的 3 次方等于8。

中间的黑盒肯定是拿来选择的，通过开关来控制通路，比较复杂我觉得稍微看看就行，反正就是电路选择。

输入的话也不用直接用八个，所以也搞个三个开关。

内部构造我就不贴了，也和选择器一样复杂，这叫译码器，最终完整电路图如下：

而S0、S1、S2 其实就是地址，通过地址来选择写入哪个锁存器中，并且对应输出结果，这种配置叫读/写存储器，也称为随机访问存储器即 RAM。

因为它能保存信息，所以叫存储器，因为能根据地址选择来写入读取所以是随机**。

上图电路简化图如下，能存储 8 个独立的 1 位数据。

两个 81 RAM 结合一下就能表示存储 8 个独立的 2 位数据。

如果是通过下面这样的组合，则能表示 161 RAM，那个 DI 其实就是第四根地址线，所以是 2 的 4 次方。

可以看到 RAM 阵列的存储容量等于 2 的地址数次方，然后注意下我们图是简化了的，里面其实有很多继电器的，像逻辑门都是由继电器构成的，当断电之后电磁效应就没了，所有的触点都回归原样，这就是 RAM 为什么是易失性存储介质的原因。

咱们现在已经把内存给搞出来了**。

接下来我们的目标就是把要计算的数据输入内存中，然后让加法器计算了，之后把结果写回内存，并且可以再通过内存查看结果，大致的组装样子如下：

然后我们可以将加法器和锁存器结合起来作为一个累加器，即每次加法的值存储到锁存器中并作为下一次累加的值。

有了累加器之后，我们可以将存储器的值传到累加器中，称为 Load 装载，把下一个值添加到累加器中，称为 Add，然后将结果保存在某个位置，称为 Store。

可以通过控制面板先往存储器里面写好要操作的值，并且可以通过控制面板上的灯来查看内存写入结果，然后一开始访问存储器的地址为 0000，由计数器来驱动地址的前进，然后进行相加，最终将结果存储回 RAM 阵列中，当然也需要设置停止信号。

把我们前面定义的 Load 等操作码，转化为特定的代码来控制整体的流程（你就认为这代码会指示电路做某种操作，没必要细想，反正就是通过逻辑门组合产生的）。

这个操作码仅是个助记符，因为地址是固定的，并且操作码指令字节是固定长度（1个字节），所以我们可以在每条操作后面跟上地址，总的而言每条指令（除停止）需要 3 个字节。

简单地看下图，就是在存储器地址0000处存入以下“代码”。

并且可以搞个 Jump 指令用来跳转地址，可以通过设置计数器来达成跳转地址的功能，有了跳转我们就能做循环操作了。某些重复的指令只需要编写一次，通过条件跳转来完成循环，最终的组装示意图如下：

2-1 选择器是切换计数器的地址输入或者是计算得出的输入，通过三个 8 位锁存器来分别代表代码，地址高位和低位，上图来看可能有点绕，不理解细节也没有关系，大致的流程还是简单的。

至此我们其实已经组装了一台计算机了，之所以能叫计算机而不是计算器，是因为它可以根据你写入存储器的指令自动取指执行，并且可以进行条件跳转和循环执行自动停止。

计算机的处理器就是我们上面的累加器，可以称之为算数逻辑单元，即 ALU。

那个计数器就是我们的程序计数器PC。

存储器就是内存了，输入就是控制面板，输出就是控制面板上的灯。

计算机几个核心模块就都有了。

至于前面我们定义的操作码其实就是机器语言，而人类为了好记就会搞一些助记符来标识，发展到后来就是汇编语言，而汇编语言又太麻烦了，因此又抽象搞了高级语言，比如 C、Java 等等。

9. 最后

这篇文章最终所描述的计算机其实是相当简陋的，真正的计算机也肯定不会这样造的，比如不会用继电器，线路也会用各种总线啥的搭建起来各种集成电路等等，ALU 也不会如此简单，会有各种并行计算等等。

主要是想借此大致地说下计算机基本的运行原理和构成，因为本质上的道理是一样的。如果要我把很多细节都说出来我也不会，我也就懂一点点点点皮毛，我也不是搞硬件的，啥模电的课我也没上过，我就会装装机的水准。
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