kd树

kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构。
kd树是二叉树，表示对维空间的一个划分（partition）。构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将维空间切分，构成一系列的k维超矩形区域。kd树的每个结点对应于一个维超矩形区域。

构造kd树的方法如下：
构造根结点，使根结点对应于维空间中包含所有实例点的超矩形区域；通过下面的递归方法，不断地对维空间进行切分，生成子结点。在超矩形区域（结点）上选择一个坐标轴和在此坐标轴上的一个切分点，确定一个超平面，这个超平面通过选定的切分点并垂直于选定的坐标轴，将当前超矩形区域切分为左右两个子区域 （子结点）；这时，实例被分到两个子区域。这个过程直到子区域内没有实例时终止（终止时的结点为叶结点）。在此过程中，将实例保存在相应的结点上。
通常，依次选择坐标轴对空间切分，选择训练实例点在选定坐标轴上的中位数 （median）为切分点，这样得到的kd树是平衡的。注意，平衡的kd树搜索时的效率未必是最优的。

构造平衡kd树算法

输入：维空间数据集，
其中 ，；
输出：kd树。

（1）开始：构造根结点，根结点对应于包含的维空间的超矩形区域。
选择为坐标轴，以T中所有实例的坐标的中位数为切分点，将根结点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴垂直的超平面实现。
由根结点生成深度为1的左、右子结点：左子结点对应坐标小于切分点的子区域， 右子结点对应于坐标大于切分点的子区域。
将落在切分超平面上的实例点保存在根结点。
（2）重复：对深度为的结点，选择为切分的坐标轴，，以该结点的区域中所有实例的坐标的中位数为切分点，将该结点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴垂直的超平面实现。
由该结点生成深度为的左、右子结点：左子结点对应坐标小于切分点的子区域，右子结点对应坐标大于切分点的子区域。
将落在切分超平面上的实例点保存在该结点。
（3）直到两个子区域没有实例存在时停止。从而形成kd树的区域划分。

代码

# kd-tree每个结点中主要包含的数据结构如下
class KdNode(object):
    def __init__(self, dom_elt, split, left, right):
        self.dom_elt = dom_elt  # k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
        self.split = split  # 整数（进行分割维度的序号）
        self.left = left  # 该结点分割超平面左子空间构成的kd-tree
        self.right = right  # 该结点分割超平面右子空间构成的kd-tree
class KdTree(object):
    def __init__(self, data):
        k = len(data[0])  # 数据维度
        def CreateNode(split, data_set):  # 按第split维划分数据集exset创建KdNode
            if not data_set:  # 数据集为空
                return None
            # key参数的值为一个函数，此函数只有一个参数且返回一个值用来进行比较
            # operator模块提供的itemgetter函数用于获取对象的哪些维的数据，参数为需要获取的数据在对象中的序号
            #data_set.sort(key=itemgetter(split)) # 按要进行分割的那一维数据排序
            data_set.sort(key=lambda x: x[split])
            split_pos = len(data_set) // 2  # //为Python中的整数除法
            median = data_set[split_pos]  # 中位数分割点
            split_next = (split + 1) % k  # cycle coordinates
            # 递归的创建kd树
            return KdNode(
                median,
                split,
                CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]),  # 创建左子树
                CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:]))  # 创建右子树
        self.root = CreateNode(0, data)  # 从第0维分量开始构建kd树,返回根节点
# KDTree的前序遍历
def preorder(root):
    print(root.dom_elt)
    if root.left:  # 节点不为空
        preorder(root.left)
    if root.right:
        preorder(root.right)

_

# 对构建好的kd树进行搜索，寻找与目标点最近的样本点：
from math import sqrt
from collections import namedtuple
# 定义一个namedtuple,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple", "nearest_point  nearest_dist  nodes_visited")
def find_nearest(tree, point):
    k = len(point)  # 数据维度
    def travel(kd_node, target, max_dist):
        if kd_node is None:
            return result([0] * k, float("inf"),
                          0)  # python中用float("inf")和float("-inf")表示正负无穷
        nodes_visited = 1
        s = kd_node.split  # 进行分割的维度
        pivot = kd_node.dom_elt  # 进行分割的“轴”
        if target[s] <= pivot[s]:  # 如果目标点第s维小于分割轴的对应值(目标离左子树更近)
            nearer_node = kd_node.left  # 下一个访问节点为左子树根节点
            further_node = kd_node.right  # 同时记录下右子树
        else:  # 目标离右子树更近
            nearer_node = kd_node.right  # 下一个访问节点为右子树根节点
            further_node = kd_node.left
        temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist)  # 进行遍历找到包含目标点的区域
        nearest = temp1.nearest_point  # 以此叶结点作为“当前最近点”
        dist = temp1.nearest_dist  # 更新最近距离
        nodes_visited += temp1.nodes_visited
        if dist < max_dist:
            max_dist = dist  # 最近点将在以目标点为球心，max_dist为半径的超球体内
        temp_dist = abs(pivot[s] - target[s])  # 第s维上目标点与分割超平面的距离
        if max_dist < temp_dist:  # 判断超球体是否与超平面相交
            return result(nearest, dist, nodes_visited)  # 不相交则可以直接返回，不用继续判断
        #----------------------------------------------------------------------
        # 计算目标点与分割点的欧氏距离
        temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2)**2 for p1, p2 in zip(pivot, target)))
        if temp_dist < dist:  # 如果“更近”
            nearest = pivot  # 更新最近点
            dist = temp_dist  # 更新最近距离
            max_dist = dist  # 更新超球体半径
        # 检查另一个子结点对应的区域是否有更近的点
        temp2 = travel(further_node, target, max_dist)
        nodes_visited += temp2.nodes_visited
        if temp2.nearest_dist < dist:  # 如果另一个子结点内存在更近距离
            nearest = temp2.nearest_point  # 更新最近点
            dist = temp2.nearest_dist  # 更新最近距离
        return result(nearest, dist, nodes_visited)
    return travel(tree.root, point, float("inf"))  # 从根节点开始递归

例题3.2

data = [[2,3],[5,4],[9,6],[4,7],[8,1],[7,2]]
kd = KdTree(data)
preorder(kd.root)
[7, 2]
[5, 4]
[2, 3]
[4, 7]
[9, 6]
[8, 1]
# ----------------------------------------------------------
ret = find_nearest(kd, [3,4.5])
print (ret)
Result_tuple(nearest_point=[2, 3], nearest_dist=1.8027756377319946, nodes_visited=4)

随机情况

from time import clock
from random import random
# 产生一个k维随机向量，每维分量值在0~1之间
def random_point(k):
    return [random() for _ in range(k)]
# 产生n个k维随机向量 
def random_points(k, n):
    return [random_point(k) for _ in range(n)]
N = 400000
t0 = clock()
kd2 = KdTree(random_points(3, N))            # 构建包含四十万个3维空间样本点的kd树
ret2 = find_nearest(kd2, [0.1,0.5,0.8])      # 四十万个样本点中寻找离目标最近的点
t1 = clock()
print ("time: ",t1-t0, "s")
print (ret2)
time:  5.4623788 s
Result_tuple(nearest_point=[0.09929288205798159, 0.4954936771850429, 0.8005722800665575], nearest_dist=0.004597223680778027, nodes_visited=42)