48. 旋转图像

48. 旋转图像

题目

给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请你将图像顺时针旋转 90 度。
你必须在 原地 旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要 使用另一个矩阵来旋转图像。
示例 1：

输入：matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：[[7,4,1],[8,5,2],[9,6,3]]

示例 2：

输入：matrix = [[5,1,9,11],[2,4,8,10],[13,3,6,7],[15,14,12,16]]
输出：[[15,13,2,5],[14,3,4,1],[12,6,8,9],[16,7,10,11]]

示例 3：

输入：matrix = [[1]]
输出：[[1]]

示例 4：

输入：matrix = [[1,2],[3,4]]
输出：[[3,1],[4,2]]

提示：

• matrix.length == n
• matrix[i].length == n
• 1 <= n <= 20
• -1000 <= matrix[i][j] <= 1000

题解

首先我们知道二维旋转的公式为：

例如我们将点 顺时针旋转90度后为
但在二维数组中，我们需要旋转的是下标，因此先对下标转换为以矩阵中心为坐标原点的坐标：

其中 为矩阵中心的下标，然后将坐标旋转：

再将坐标转换为下标：

我们知道 c=(0+n-1)/2，因此 2c=n-1，于是就得到了最终的变换公式：

然后在例1中，我们要将数字1,3,9,7旋转，实际上有一个很简单的实现：

1. 首先将 (1,7) 交换
2. 然后再将 (1,9)交换
3. 然后再将 (1,3)交换

代码实现起来就很简单了：

class Solution:
    def rotate(self, matrix):
        n = len(matrix)-1
        for i in range((n+1)//2):
            for j in range(i, n-i):
                x, y = i, j
                for _ in range(3):
                    tmp = matrix[n-y][x]
                    matrix[n-y][x] = matrix[x][y]
                    matrix[x][y] = tmp
                    x, y = n-y, x
        return matrix

方案二

观察公式 ，其实可以分成两步：

第一步可以看作沿x轴水平翻转，第二步可以看作沿对角线翻转。
因此也可以这样写：

class Solution:
    def rotate(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
        n = len(matrix)
        # 水平翻转
        for i in range(n // 2):
            for j in range(n):
                matrix[i][j], matrix[n - i - 1][j] = matrix[n - i - 1][j], matrix[i][j]
        # 主对角线翻转
        for i in range(n):
            for j in range(i):
                matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]