上一课时主要讲解了一些常用的数据结构和它们的使用技巧,以及一些经典的例题。

然而,仅仅掌握好它们不足以应付大厂的算法面试的。为了达到对时间和空间复杂度的理想要求,本节课探究高级数据结构,它们的实现要比那些常用的数据结构要复杂得多。其中重点介绍:

  • 优先队列
  • 前缀树
  • 线段树
  • 树状数组


    掌握好高级数据结构的性质以及所适用的场合,在分析问题的时候回归本质,很多题目都能迎刃而解。

    优先队列(Priority Queue)

    特点
    能保证每次取出的元素都是队列中优先级别最高的。优先级别可以是自定义的,例如,数据的数值越大,优先级越高;或者数据的数值越小,优先级越高。优先级别甚至可以通过各种复杂的计算得到。

应用场景
从一堆杂乱无章的数据当中按照一定的顺序(或者优先级)逐步地筛选出部分乃至全部的数据。

举例:任意一个数组,找出前 k 大的数。

解法 1:先对这个数组进行排序,然后依次输出前 k 大的数,复杂度将会是 O(nlogn),其中,n 是数组的元素个数。这是一种直接的办法。

解法 2:使用优先队列,复杂度优化成 O(k + nlogk)。

当数据量很大(即 n 很大),而 k 相对较小的时候,显然,利用优先队列能有效地降低算法复杂度。因为要找出前 k 大的数,并不需要对所有的数进行排序。

实现
优先队列的本质是一个二叉堆结构堆在英文里叫 Binary Heap,它是利用一个数组结构来实现的完全二叉树。换句话说,优先队列的本质是一个数组,数组里的每个元素既有可能是其他元素的父节点,也有可能是其他元素的子节点,而且,每个父节点只能有两个子节点,很像一棵二叉树的结构。

牢记下面优先队列有三个重要的性质。

  1. 数组里的第一个元素 array[0] 拥有最高的优先级别。
    2. 给定一个下标 i,那么对于元素 array[i] 而言:
  • 它的父节点所对应的元素下标是 (i-1)/2
  • 它的左孩子所对应的元素下标是 2×i + 1
  • 它的右孩子所对应的元素下标是 2×i + 2
  1. 数组里每个元素的优先级别都要高于它两个孩子的优先级别。

    优先队列最基本的操作有两个。

1. 向上筛选(sift up / bubble up)

当有新的数据加入到优先队列中,新的数据首先被放置在二叉堆的底部。
不断进行向上筛选的操作,即如果发现该数据的优先级别比父节点的优先级别还要高,那么就和父节点的元素相互交换,再接着往上进行比较,直到无法再继续交换为止。
image.png
时间复杂度:由于二叉堆是一棵完全二叉树,并假设堆的大小为 k,因此整个过程其实就是沿着树的高度往上爬,所以只需要 O(logk) 的时间。

  1. 向下筛选(sift down / bubble down)

当堆顶的元素被取出时,要更新堆顶的元素来作为下一次按照优先级顺序被取出的对象,需要将堆底部的元素放置到堆顶,然后不断地对它执行向下筛选的操作。

将该元素和它的两个孩子节点对比优先级,如果优先级最高的是其中一个孩子,就将该元素和那个孩子进行交换,然后反复进行下去,直到无法继续交换为止。
image.png
时间复杂度:整个过程就是沿着树的高度往下爬,所以时间复杂度也是 O(logk)。

因此,无论是添加新的数据还是取出堆顶的元素,都需要 O(logk) 的时间。

初始化
优先队列的初始化是一个最重要的时间复杂度,是分析运用优先队列性能时必不可少的,也是经常容易弄错的地方。

举例:有 n 个数据,需要创建一个大小为 n 的堆。

误区:每当把一个数据加入到堆里,都要对其执行向上筛选的操作,这样一来就是 O(nlogn)。

解法:在创建这个堆的过程中,二叉树的大小是从 1 逐渐增长到 n 的,所以整个算法的复杂度经过推导,最终的结果是 O(n)。image.png

注意:算法面试中是不要求推导的,你只需要记住,初始化一个大小为 n 的堆,所需要的时间是 O(n) 即可。

例题分析:LeetCode 第 347 题:给定一个非空的整数数组,返回其中出现频率前 k 高的元素。

说明:

你可以假设给定的 k 总是合理的,且 1 ≤ k ≤ 数组中不相同的元素的个数。

你的算法的时间复杂度必须优于 O(nlogn) ,n 是数组的大小

示例:car,car,book,desk,desk,desk

解题思路

这道题的输入是一个字符串数组,数组里的元素可能会重复一次甚至多次,要求按顺序输出前 k 个出现次数最多的字符串。

解这类求”前 k 个”的题目,关键是看如何定义优先级以及优先队列中元素的数据结构。

题目中有”前 k 个“这样的字眼,应该很自然地联想到优先队列。

优先级别可以由字符串出现的次数来决定,出现的次数越多,优先级别越高,反之越低。

统计词频的最佳数据结构就是哈希表(Hash Map),利用一个哈希表,就能快速地知道每个单词出现的次数。

将单词和其出现的次数作为一个新的对象来构建一个优先队列,那么这个问题就很轻而易举地解决了。

建议:这道题是利用优先队列处理问题的典型,建议好好练习。

  1. Desk (3)
  2. / \
  3. car(2) book(1)

图(Graph)

基本知识点

图可以说是所有数据结构里面知识点最丰富的一个最基本的知识点如下。

阶(Order)、度:出度(Out-Degree)、入度(In-Degree)

树(Tree)、森林(Forest)、环(Loop)

有向图(Directed Graph)、无向图(Undirected Graph)、完全有向图、完全无向图

连通图(Connected Graph)、连通分量(Connected Component)

存储和表达方式:邻接矩阵(Adjacency Matrix)、邻接链表(Adjacency List)

围绕图的算法也是五花八门。

图的遍历:深度优先、广度优先

环的检测:有向图、无向图

拓扑排序

最短路径算法:Dijkstra、Bellman-Ford、Floyd Warshall

连通性相关算法:Kosaraju、Tarjan、求解孤岛的数量、判断是否为树

图的着色、旅行商问题等

以上的知识点只是图论里的冰山一角,对于算法面试而言,完全不需要对每个知识点都一一掌握,而应该有的放矢地进行准备。

【必会知识点】

根据长期的经验总结,以下的知识点是必须充分掌握并反复练习的。

图的存储和表达方式:邻接矩阵(Adjacency Matrix)、邻接链表(Adjacency List)

图的遍历:深度优先、广度优先

二部图的检测(Bipartite)、树的检测、环的检测:有向图、无向图

拓扑排序

联合-查找算法(Union-Find)

最短路径:Dijkstra、Bellman-Ford

其中,环的检测、二部图的检测、树的检测以及拓扑排序都是基于图的遍历,尤其是深度优先方式的遍历。而遍历可以在邻接矩阵或者邻接链表上进行,所以掌握好图的遍历是重中之重!因为它是所有其他图论算法的基础。

至于最短路径算法,能区分它们的不同特点,知道在什么情况下用哪种算法就很好了。对于有充足时间准备的面试者,能熟练掌握它们的写法当然是最好的。

建议:LeetCode 里边有许多关于图论的算法题,而且都是非常经典的题目,可以通过练习解题来熟练掌握必备知识。

例题分析:LeetCode 第 785 题:给定一个无向图 graph,当这个图为二部图时返回 true。

提示:如果能将一个图的节点集合分割成两个独立的子集 A 和 B,并使图中的每一条边的两个节点一个来自 A 集合,一个来自 B 集合,就将这个图称为二部图。

解题思路

判断一个给定的任意图是否为二部图,就必须要对该图进行一次遍历:

  • 深度优先
  • 广度优先

(关于深度优先和广度优先算法,将在第 06 节课进行详细讨论)。

二部图,图的所有顶点可以分成两个子集 U 和 V,子集里的顶点互不直接相连,图里面所有的边,一头连着子集 U 里的顶点,一头连着子集 V 里的顶点。
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  1. 给图里的顶点涂上颜色,子集 U 里的顶点都涂上红色,子集 V 里的顶点都涂上蓝色。
  2. 开始遍历这个图的所有顶点,想象一下手里握有红色和蓝色的画笔,每次交替地给遍历当中遇到的顶点涂上颜色。
  3. 如果这个顶点还没有颜色,那就给它涂上颜色,然后换成另外一支画笔。
  4. 下一个顶点,如果发现这个顶点已经涂上了颜色,而且颜色跟我手里画笔的颜色不同,那么表示这个顶点它既能在子集 U 里,也能在子集 V 里。
  5. 所以,它不是一个二部图

前缀树(Trie)

应用场景 前缀树被广泛地运用在字典查找当中,也被称为字典树。

举例:给定一系列字符串,这些字符串构成了一种字典,要求你在这个字典当中找出所有以“ABC”开头的字符串。

解法 1:暴力搜索

直接遍历一遍字典,然后逐个判断每个字符串是否由“ABC”开头。假设字典很大,有 N 个单词,要对比的不是“ABC”,而是任意的,那不妨假设所要对比的开头平均长度为 M,那么时间复杂度是 O(M×N)。

解法 2:前缀树

如果用前缀树头帮助对字典的存储进行优化,那么可以把搜索的时间复杂度下降为 O(M),其中 M 表示字典里最长的那个单词的字符个数,在很多情况下,字典里的单词个数 N 是远远大于 M 的。因此,前缀树在这种场合中是非常高效的。

经典应用:

  1. 网站上的搜索框会罗列出以搜索文字作为开头的相关搜索信息,这里运用了前缀树进行后端的快速检索
  2. 汉字拼音输入法的联想输出功能也运用了前缀树。

举例:假如有一个字典,字典里面有如下词:”A”,”to”,”tea”,”ted”,”ten”,”i”,”in”,”inn”,每个单词还能有自己的一些权重值,那么用前缀树来构建这个字典将会是如下的样子:
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性质
1. 每个节点至少包含两个基本属性。

  • children:数组或者集合,罗列出每个分支当中包含的所有字符
  • isEnd:布尔值,表示该节点是否为某字符串的结尾
  1. 前缀树的根节点是空的

所谓空,即只利用到这个节点的 children 属性,即只关心在这个字典里,有哪些打头的字符。

  1. 除了根节点,其他所有节点都有可能是单词的结尾,叶子节点一定都是单词的结尾。

实现

前缀树最基本的操作就是两个:创建和搜索

1. 创建

遍历一遍输入的字符串,对每个字符串的字符进行遍历

从前缀树的根节点开始,将每个字符加入到节点的 children 字符集当中。

如果字符集已经包含了这个字符,则跳过。

如果当前字符是字符串的最后一个,则把当前节点的 isEnd 标记为真。

由上,创建的方法很直观。

前缀树真正强大的地方在于,每个节点还能用来保存额外的信息,比如可以用来记录拥有相同前缀的所有字符串。因此,当用户输入某个前缀时,就能在 O(1) 的时间内给出对应的推荐字符串。

  1. 搜索

与创建方法类似,从前缀树的根节点出发,逐个匹配输入的前缀字符,如果遇到了就继续往下一层搜索,如果没遇到,就立即返回。

例题分析:LeetCode 第 212 题:给定一个二维网格 board 和一个字典中的单词列表 words,找出所有同时在二维网格和字典中出现的单词。

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单词必须按照字母顺序,通过相邻的单元格内的字母构成,其中“相邻”单元格是那些水平相邻或垂直相邻的单元格。同一个单元格内的字母在一个单词中不允许被重复使用。

说明:你可以假设所有输入都由小写字母 a-z 组成。

解题思路

这是一道出现较为频繁的难题,题目给出了一个二维的字符矩阵,然后还给出了一个字典,现在要求在这个字符矩阵中找到出现在字典里的单词。

由于字符矩阵的每个点都能作为一个字符串的开头,所以必须得尝试从矩阵中的所有字符出发,上下左右一步步地走,然后去和字典进行匹配,如果发现那些经过的字符能组成字典里的单词,就把它记录下来。

可以借用深度优先的算法来实现(关于深度优先算法,将在第 06 节课深入探讨),如果你对它不熟悉,可以把它想象成走迷宫。
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字典匹配的解法 1:每次都循环遍历字典,看看是否存在字典里面,如果把输入的字典变为哈希集合的话,似乎只需要 O(1) 的时间就能完成匹配。

但是,这样并不能进行前缀的对比,即,必须每次都要进行一次全面的深度优先搜索,或者搜索的长度为字典里最长的字符串长度,这样还是不够高效。

字典匹配的解法 2:对比字符串的前缀,借助前缀树来重新构建字典。

假如在矩阵里遇到了一个字符”V”,而字典里根本就没有以“V”开头的字符串,则不需要将深度优先搜索进行下去,可以大大地提高搜索效率。

构建好了前缀树之后,每次从矩阵里的某个字符出发进行搜索的时候,同步地对前缀树进行对比,如果发现字符一直能被找到,就继续进行下去,一步一步地匹配,直到在前缀树里发现一个完整的字符串,把它输出即可。

线段树(Segment Tree)

举例:假设有一个数组 array[0 … n-1], 里面有 n 个元素,现在要经常对这个数组做两件事。

更新数组元素的数值

求数组任意一段区间里元素的总和(或者平均值)

解法 1:遍历一遍数组。

时间复杂度 O(n)。

解法 2:线段树。

线段树,就是一种按照二叉树的形式存储数据的结构,每个节点保存的都是数组里某一段的总和。

适用于数据很多,而且需要频繁更新并求和的操作。

时间复杂度 O(logn)。

实现
举例:数组是 [1, 3, 5, 7, 9, 11],那么它的线段树如下。
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根节点保存的是从下标 0 到下标 5 的所有元素的总和,即 36。左右两个子节点分别保存左右两半元素的总和。按照这样的逻辑不断地切分下去,最终的叶子节点保存的就是每个元素的数值。

解法:

  1. 更新数组里某个元素的数值

从线段树的根节点出发,更新节点的数值,它保存的是数组元素的总和。修改的元素有可能会落在线段树里一些区间里,至少叶子节点是肯定需要更新的,所以,要做的是从根节点往下,判断元素的下标是否在左边还是右边,然后更新分支里的节点大小。因此,复杂度就是遍历树的高度,即 O(logn)。

  1. 对数组某个区间段里的元素进行求和

方法和更新操作类似,首先从根节点出发,判断所求的区间是否落在节点所代表的区间中。如果所要求的区间完全包含了节点所代表的区间,那么就得加上该节点的数值,意味着该节点所记录的区间总和只是所要求解总和的一部分。接下来,不断地往下寻找其他的子区间,最终得出所要求的总和。

建议:线段树的实现书写起来有些繁琐,需要不断地练习。

例题分析:LeetCode 第 315 题:给定一个整数数组 nums,按要求返回一个新数组 counts,使得数组 counts 有该性质——counts[i] 的值是 nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。

示例

输入:[5, 2, 6, 1]

输出:[2, 1, 1, 0]

解释

5 的右侧有 2 个更小的元素(2 和 1)
2 的右侧仅有 1 个更小的元素(1)
6 的右侧有 1 个更小的元素(1)
1 的右侧有 0 个更小的元素

解题思路

给定一个数组 nums,里面都是一些整数,现在要求打印输出一个新的数组 counts,counts 数组的每个元素 counts[i] 表示 nums 中第 i 个元素右边有多少个数小于 nums[i]。

例如,输入数组是 [5, 2, 6, 1],应该输出的结果是 [2, 1, 1, 0]。

因为,对于 5,右边有两个数比它小,分别是 2 和 1,所以输出的结果中,第一个元素是 2;对于 2,右边只有 1 比它小,所以第二个元素是 1,类推。

如果使用线段树解法,需要理清线段树的每个节点应该需要包含什么样的信息

线段树每个节点记录的区间是数组下标所形成的区间,然而对于这道题,因为要统计的是比某个数还要小的数的总和,如果把分段的区间设计成按照数值的大小来划分,并记录下在这个区间中的数的总和,就能快速地知道比当前数还要小的数有多少个。
image.png
1. 首先,让从线段树的根节点开始,根节点记录的是数组里最小值到最大值之间的所有元素的总和,然后分割根节点成左区间和右区间,不断地分割下去。

  1. 初始化,每个节点记录的在此区间内的元素数量是 0,接下来从数组的最后一位开始往前遍历,每次遍历,判断这个数落在哪个区间,那么那个区间的数量加一。

  2. 遇到 1,把它加入到线段树里,此时线段树里各个节点所统计的数量会发生变化。

  3. 当前所遇到的最小值就是 1。

  4. 把 6 加入到线段树里。

  5. 求比 6 小的数有多少个,即查询线段树,从 1 到 5 之间有多少个数。

  6. 从根节点开始查询。由于所要查询的区间是 1 到 5,无法包含根节点的区间 1 到 6,所以继续往下查询。

  7. 左边,区间 1 到 3 被完全包含在 1 到 5 之间,把该节点所统计好的数返回。

  8. 右边,区间 1 到 5 跟区间 4 到 6 有交叉,继续往下看,区间 4 到 5 完全被包含在 1 到 5 之间,所以可以马上返回,并把统计的数量相加。

  9. 最后得出,在当前位置,在 6 的右边比 6 小的数只有一个。
    通过这样的方法,每次把当前的数用线段树进行个数统计,然后再计算出比它小的数即可。算法复杂度是 O(nlogm)。

树状数组(Fenwick Tree / Binary Indexed Tree)

实现
举例:假设有一个数组 array[0 … n-1], 里面有 n 个元素,现在要经常对这个数组做两件事。

更新数组元素的数值

求数组前 k 个元素的总和(或者平均值)

解法 1:线段树。

线段树能在 O(logn) 的时间里更新和求解前 k 个元素的总和。

解法 2:树状数组。

该问题只要求求解前 k 个元素的总和,并不要求任意一个区间。

树状数组可以在 O(logn) 的时间里完成上述的操作。

相对于线段树的实现,树状数组显得更简单。

特点
树状数组的数据结构有以下几个重要的基本特征。

它是利用数组来表示多叉树的结构,在这一点上和优先队列有些类似,只不过,优先队列是用数组来表示完全二叉树,而树状数组是多叉树。

树状数组的第一个元素是空节点。

如果节点 tree[y] 是 tree[x] 的父节点,那么需要满足条件:y = x - (x & (-x))。

建议:由于树状数组所解决的问题跟线段树有些类似,所以不花篇幅进行问题的讨论。LeetCode 上有很多经典的题目可以用树状数组来解决,比如 LeetCode 第 308 题,求一个动态变化的二维矩阵里,任意子矩阵里的数的总和。

总结
这节课讲解了一些高级的数据结构。

  1. 优先队列

经常出现在考题里的,它的实现过程比较繁琐,但是很多编程语言里都有它的实现,所以在解决面试中的问题时,实行“拿来主义”即可。

鼓励你自己练习实现一个优先队列,在实现它的过程中更好地去了解它的结构和特点。

被广泛运用的数据结构,很多涉及大数据的问题都得运用到图论的知识。

比如在社交网络里,每个人可以用图的顶点表示,人与人直接的关系可以用图的边表示;再比如,在地图上,要求解从起始点到目的地,如何行驶会更快捷,需要运用图论里的最短路径算法。

  1. 前缀树

出现在许多面试的难题当中。

因为很多时候你得自己实现一棵前缀树,所以你要能熟练地书写它的实现以及运用它。

  1. 线段树和树状数组

应用场合比较明确。

例如,问题变为在一幅图片当中修改像素的颜色,然后求解任意矩形区间的灰度平均值,那么可以考虑采用二维的线段树了。

建议:LeetCode 平台上,针对上面的这些高级数据结构都有丰富的题目,希望你能用功学习。

下节课的主题是“面试中常用的算法”。