一、斐波那契(黄金分割法)查找基本介绍

  1. 黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位 数字的近似值是 0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神 奇的数字，会带来意向不大的效果。

  2. 斐波那契数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 发现斐波那契数列的两个相邻数 的比例，无限接近 黄金分割值 0.618

    二、斐波那契(黄金分割法)原理

    斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid 不再是中间或插值得到，而是位 于黄金分割点附近，即 mid=low+F(k-1)-1（F 代表斐波那契数列），如下图所示
    查找算法-斐波那契查找 - 图1
    对 F(k-1)-1 的理解：

  3. 由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质，可以得到 （F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1 。该式说明： 只要顺序表的长度为 F[k]-1，则可以将该表分成长度为 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 的两段，即如上图所示。从而中间位置为 mid=low+F(k-1)-1

  4. 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割

  5. 但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F[k]-1。这里的 k 值只要能使 得 F[k]-1 恰好大于或等于 n 即可，由以下代码得到,顺序表长度增加后，新增的位置（从 n+1 到 F[k]-1 位置）， 都赋为 n 位置的值即可。 while(n>fib(k)-1) k++;

    三、斐波那契查找应用案例：

    请对一个有序数组进行斐波那契查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求 出下标

    1. public class FibonacciSearch {
    3.  public static int maxSize = 20;
    5.  public static void main(String[] args) {
    6.      int [] arr = {1,8, 10, 89, 1000, 1234};
    7.      System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 189));// 0
    8.  }
    9.  //因为后面我们 mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
    10.  //非递归方法得到一个斐波那契数列
    11.  public static int[] fib() {
    12.      int[] f = new int[maxSize];
    13.      f[0] = 1;
    14.      f[1] = 1;
    15.      for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
    16.          f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
    17.      }
    18.      return f;
    19.  }
    21.  //编写斐波那契查找算法
    22.  //使用非递归的方式编写算法
    23.  /**
    24.   *
    25.   * @param a 数组
    26.   * @param key 我们需要查找的关键码(值)
    27.   * @return 返回对应的下标，如果没有-1
    28.   */
    29.  public static int fibSearch(int[] a, int key) {
    30.      int low = 0;
    31.      int high = a.length - 1;
    32.      int k = 0; //表示斐波那契分割数值的下标
    33.      int mid = 0; //存放 mid 值
    34.      int f[] = fib(); //获取到斐波那契数列
    35.      //获取到斐波那契分割数值的下标
    36.      while(high > f[k] - 1) {
    37.          k++;
    38.      }
    39.      //因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用 Arrays 类，构造一个新的数组，并指向 temp[]
    40.      //不足的部分会使用 0 填充
    41.      int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
    42.      //实际上需求使用 a 数组最后的数填充 temp
    43.      //举例:
    44.      //temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0} => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}
    45.      for(int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
    46.          temp[i] = a[high];
    47.      }
    48.      // 使用 while 来循环处理，找到我们的数 key
    49.      while (low <= high) { // 只要这个条件满足，就可以找
    50.          mid = low + f[k - 1] - 1;
    51.          if(key < temp[mid]) { //我们应该继续向数组的前面查找(左边)
    52.              high = mid - 1;
    53.              //为甚是 k--
    54.              //说明
    55.              //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
    56.              //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
    57.              //因为 前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
    58.              //即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
    59.              //即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
    60.              k--;
    61.          } else if ( key > temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
    62.              low = mid + 1;
    63.              //为什么是 k -=2
    64.              //说明
    65.              //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
    66.              //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
    67.              //3. 因为后面我们有 f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
    68.              //4. 即在 f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
    69.              //5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
    70.              k -= 2;
    71.          } else { //找到
    72.              //需要确定，返回的是哪个下标
    73.              if(mid <= high) {
    74.                  return mid;
    75.              } else {
    76.                  return high;
    77.              }
    78.          }
    79.      }
    80.      return -1;
    81.  }
    82. }

    对于查找的时候 k—; 与 k-=2的理解：

    1. // 因为temp的长度 = FibonacciArr[k]
    2. // 斐波那契 k = k-1 + k-2（全部元素 = 前面的元素 + 后边元素）
    3. // 即 k 是temp 的长度 ； k-1 是mid之前 ； k-2是mid之后
    4. // 所以 当查找的值 小于 mid 时，向左遍历