一、弗洛伊德(Floyd)算法介绍

  1. 和 Dijkstra 算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法 名称以创始人之一、1978 年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名
  2. 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
  3. 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。

  4. 弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点 的最短路径；弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每 一个顶点到其他顶点的最短路径。

    二、弗洛伊德(Floyd)算法图解分析

  5. 设置顶点 vi 到顶点 vk 的最短路径已知为 Lik，顶点 vk 到 vj 的最短路径已知为 Lkj，顶点 vi 到 vj 的路径为 Lij， 则 vi 到 vj 的最短路径为：min((Lik+Lkj),Lij)，vk 的取值为图中所有顶点，则可获得 vi 到 vj 的最短路径

  6. 至于 vi 到 vk 的最短路径 Lik 或者 vk 到 vj 的最短路径 Lkj，是以同样的方式获得

  7. 弗洛伊德(Floyd)算法图解分析-举例说明示例：求最短路径为例说明弗洛伊德算法 - 图1弗洛伊德算法 - 图2弗洛伊德算法的步骤： 第一轮循环中，以 A(下标为：0)作为中间顶点【即把 A 作为中间顶点的所有情况都进行遍历, 就会得到更新距离表 和 前驱关系】， 距离表和前驱关系更新为：弗洛伊德算法 - 图3分析如下：1) 以A顶点作为中间顶点是，B->A->C 的距离由 N->9，同理C到B；C->A->G 的距离由 N->12，同理 G 到 C2) 更换中间顶点，循环执行操作，直到所有顶点都作为中间顶点更新后，计算结束

    三、弗洛伊德(Floyd)算法最佳应用-最短路径

    弗洛伊德算法 - 图4

  8. 胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G)

  9. 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
  10. 问：如何计算出各村庄到 其它各村庄的最短距离

代码实现：

  1. public class FloydAlgorithm {
  3.     public static void main(String[] args) {
  4.         // 测试看看图是否创建成功
  5.         char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
  6.         //创建邻接矩阵
  7.         int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
  8.         final int N = 65535;
  9.         matrix[0] = new int[] { 0, 5, 7, N, N, N, 2 };
  10.         matrix[1] = new int[] { 5, 0, N, 9, N, N, 3 };
  11.         matrix[2] = new int[] { 7, N, 0, N, 8, N, N };
  12.         matrix[3] = new int[] { N, 9, N, 0, N, 4, N };
  13.         matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, 0, 5, 4 };
  14.         matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, 0, 6 };
  15.         matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, 0 };
  16.         //创建 Graph 对象
  17.         Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);
  18.         //调用弗洛伊德算法
  19.         graph.floyd();
  20.         graph.show();
  21.     }
  22. }
  24. // 创建图
  25. class Graph {
  27.     private char[] vertex; // 存放顶点的数组
  28.     private int[][] dis; // 保存，从各个顶点出发到其它顶点的距离，最后的结果，也是保留在该数组
  29.     private int[][] pre;// 保存到达目标顶点的前驱顶点
  31.     // 构造器
  32.     /**
  33.      *
  34.      * @param length
  35.      * 大小
  36.      * @param matrix
  37.      * 邻接矩阵
  38.      * @param vertex
  39.      * 顶点数组
  40.      */
  41.     public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) {
  42.         this.vertex = vertex;
  43.         this.dis = matrix;
  44.         this.pre = new int[length][length];
  45.         // 对 pre 数组初始化, 注意存放的是前驱顶点的下标
  46.         for (int i = 0; i < length; i++) {
  47.             Arrays.fill(pre[i], i);
  48.         }
  49.     }
  51.     // 显示 pre 数组和 dis 数组
  52.     public void show() {
  53.         //为了显示便于阅读，我们优化一下输出
  54.         char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
  55.         for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
  56.             // 先将 pre 数组输出的一行
  57.             for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
  58.                 System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " ");
  59.             }
  60.             System.out.println();
  61.             // 输出 dis 数组的一行数据
  62.             for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
  63.                 System.out.print("("+vertex[k]+"到"+vertex[i]+"的最短路径是" + dis[k][i] + ") ");
  64.             }
  65.             System.out.println();
  66.             System.out.println();
  67.         }
  68.     }
  70.     //弗洛伊德算法, 比较容易理解，而且容易实现
  71.     public void floyd() {
  72.         int len = 0; //变量保存距离
  73.         //对中间顶点遍历， k 就是中间顶点的下标 [A, B, C, D, E, F, G]
  74.         for(int k = 0; k < dis.length; k++) { //
  75.             //从 i 顶点开始出发 [A, B, C, D, E, F, G]
  76.             for(int i = 0; i < dis.length; i++) {
  77.                 //到达 j 顶点 // [A, B, C, D, E, F, G]
  78.                 for(int j = 0; j < dis.length; j++) {
  79.                     len = dis[i][k] + dis[k][j];// => 求出从 i 顶点出发，经过 k 中间顶点，到达 j 顶点距离
  80.                     if(len < dis[i][j]) {//如果 len 小于 dis[i][j]
  81.                         dis[i][j] = len;//更新距离
  82.                         pre[i][j] = pre[k][j];//更新前驱顶点
  83.                     }
  84.                 }
  85.             }
  86.         }
  87.     }
  88. }