一、应用场景-公交站问题

看一个应用场景和问题：
克鲁斯卡尔算法 - 图1

  1. 某城市新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通
  2. 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里

  3. 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

    二、克鲁斯卡尔算法介绍

  4. 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

  5. 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这 n-1 条边不构成回路

  6. 具体做法：首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森 林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

    三、克鲁斯卡尔算法图解说明

    在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
    克鲁斯卡尔算法 - 图2
    例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树
    克鲁斯卡尔算法 - 图3
    以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。
    克鲁斯卡尔算法 - 图4
    第1步：将边加入R中。 边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 第2步：将边加入R中。 上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 第3步：将边加入R中。 上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 第4步：将边加入R中。 上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果R中。 第5步：将边加入R中。 上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 第6步：将边加入R中。 上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果R中。
    此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是： 。

    四、克鲁斯卡尔算法分析

    根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题： 问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。 问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
    问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
    问题二，处理方式是：记录顶点在”最小生成树”中的终点，顶点的终点是”在最小生成树中与它连通的最大顶点”。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

    五、如何判断是否构成回路-举例说明(如图)

    克鲁斯卡尔算法 - 图5
    在将 加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
    (01) C的终点是F。 (02) D的终点是F。 (03) E的终点是F。 (04) F的终点是F。
    关于终点的说明：

  7. 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是”与它连通的最大顶点”。

  8. 因此，接下来，虽然是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

    六、克鲁斯卡尔最佳实践-公交站问题

    看一个公交站问题：

  9. 有北京有新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通

  10. 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里
  11. 问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

代码实现：

  1. public class KruskalCase {
  2.     private int edgeNum; //边的个数
  3.     private char[] vertexs; //顶点数组
  4.     private int[][] matrix; //邻接矩阵
  6.     //使用 INF 表示两个顶点不能连通
  7.     private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
  9.     public static void main(String[] args) {
  10.         char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
  11.         //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
  12.         int matrix[][] = {
  13.             /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
  14.             /*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14}, 
  15.             /*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF}, 
  16.             /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
  17.             /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
  18.             /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
  19.             /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9}, 
  20.             /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}
  21.         };
  23.         //大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树. //创建 KruskalCase 对象实例
  24.         KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
  26.         //输出构建的
  27.         kruskalCase.print();
  28.         kruskalCase.kruskal();
  29.     }
  31.     //构造器
  32.     public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
  34.         //初始化顶点数和边的个数
  35.         int vlen = vertexs.length;
  36.         //初始化顶点, 复制拷贝的方式
  37.         this.vertexs = new char[vlen];
  38.         for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
  39.             this.vertexs[i] = vertexs[i];
  40.         }
  41.         //初始化边, 使用的是复制拷贝的方式
  42.         this.matrix = new int[vlen][vlen];
  43.         for(int i = 0; i < vlen; i++) {
  44.             for(int j= 0; j < vlen; j++) {
  45.                 this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
  46.             }
  47.         }
  48.         //统计边的条数
  49.         for(int i =0; i < vlen; i++) {
  50.             for(int j = i+1; j < vlen; j++) {
  51.                 if(this.matrix[i][j] != INF) {
  52.                     edgeNum++;
  53.                 }
  54.             }
  55.         }
  56.     }
  58.     public void kruskal() {
  60.         int index = 0; //表示最后结果数组的索引
  61.         int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
  62.         //创建结果数组, 保存最后的最小生成树
  63.         EData[] rets = new EData[edgeNum];
  65.         //获取图中 所有的边的集合 ， 一共有 12 边
  66.         EData[] edges = getEdges();
  67.         System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12
  68.         //按照边的权值大小进行排序(从小到大)
  69.         sortEdges(edges);
  71.         //遍历 edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
  72.         for(int i=0; i < edgeNum; i++) {
  73.             //获取到第 i 条边的第一个顶点(起点)
  74.             int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4
  75.             //获取到第 i 条边的第 2 个顶点
  76.             int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5
  77.             //获取 p1 这个顶点在已有最小生成树中的终点
  78.             int m = getEnd(ends, p1); //m = 4
  79.             //获取 p2 这个顶点在已有最小生成树中的终点
  80.             int n = getEnd(ends, p2); // n = 5
  81.             //是否构成回路
  82.             if(m != n) { //没有构成回路
  83.                 ends[m] = n; // 设置 m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
  84.                 rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到 rets 数组
  85.             }
  86.         }
  88.         //<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
  89.         //统计并打印 "最小生成树", 输出 rets
  90.         System.out.println("最小生成树为");
  91.         for(int i = 0; i < index; i++) {
  92.             System.out.println(rets[i]);
  93.         }
  94.     }
  96.     //打印邻接矩阵
  97.     public void print() {
  98.         System.out.println("邻接矩阵为: \n");
  99.         for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
  100.             for(int j=0; j < vertexs.length; j++) {
  101.                 System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
  102.             }
  103.             System.out.println();//换行
  104.         }
  105.     }
  107.     /**
  108.      * 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序
  109.      * @param edges 边的集合
  110.      */
  111.     private void sortEdges(EData[] edges) {
  112.         for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
  113.             for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
  114.                 if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换
  115.                     EData tmp = edges[j];
  116.                     edges[j] = edges[j+1];
  117.                     edges[j+1] = tmp;
  118.                 }
  119.             }
  120.         }
  121.     }
  123.     /**
  124.      *
  125.      * @param ch 顶点的值，比如'A','B' * @return 返回 ch 顶点对应的下标，如果找不到，返回-1
  126.      */
  127.     private int getPosition(char ch) {
  128.         for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
  129.             if(vertexs[i] == ch) {//找到
  130.                 return i;
  131.             }
  132.         }
  133.         //找不到,返回-1
  134.         return -1;
  135.     }
  137.     /**
  138.      * 功能: 获取图中边，放到 EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组
  139.      * 是通过 matrix 邻接矩阵来获取
  140.      * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]
  141.      * @return
  142.      */
  143.     private EData[] getEdges() {
  144.         int index = 0;
  145.         EData[] edges = new EData[edgeNum];
  146.         for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
  147.             for(int j=i+1; j <vertexs.length; j++) {
  148.                 if(matrix[i][j] != INF) {
  149.                     edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
  150.                 }
  151.             }
  152.         }
  153.         return edges;
  154.     }
  156.     /**
  157.      * 功能: 获取下标为 i 的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同
  158.      * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成
  159.      * @param i : 表示传入的顶点对应的下标
  160.      * @return 返回的就是 下标为 i 的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解
  161.      */
  162.     private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
  163.         while(ends[i] != 0) { // while 循环 能够保证它不断的去找对应的点的终点，指导为 0 返回 自身的索引
  164.             i = ends[i];
  165.         }
  166.         return i;
  167.     }
  168. }
  170. //创建一个类 EData ，它的对象实例就表示一条边
  171. class EData {
  173.     char start; //边的一个点
  174.     char end; //边的另外一个点
  175.     int weight; //边的权值
  177.     //构造器
  178.     public EData(char start, char end, int weight) {
  179.         this.start = start;
  180.         this.end = end;
  181.         this.weight = weight;
  182.     }
  184.     //重写 toString, 便于输出边信息
  185.     @Override
  186.     public String toString() {
  187.         return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";
  188.     }
  190. }