一、应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅 ， 现有如下物品

物品 重量 价格
吉他(G) 1 1500
音响(S) 4 3000
电脑(L) 3 2000
  1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
  2. 要求装入的物品不能重复

二、动态规划算法介绍

  1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解 的处理算法
  2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这 些子问题的解得到原问题的解。
  3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子 阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
  4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

三、动态规划算法最佳实践-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅 ， 现有如下物品

物品 重量 价格
吉他(G) 1 1500
音响(S) 4 3000
电脑(L) 3 2000
  1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
  2. 要求装入的物品不能重复

思路分析和图解

  1. 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价 值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
  2. 这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
  3. 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品 放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令 v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果： 
    1. (1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是 0
    2. (2) 当 w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个
    3. 单元格的装入策略
    4. (3) 当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
    5. // 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量, // 装入的方式:
    6. v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
    7. v[i] : 表示当前商品的价值
    8. v[i-1][j-w[i]] ： 装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值
    9. 当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w

四、动态规划-背包问题的代码实现

  1. ublic class KnapsackProblem {
  3.     public static void main(String[] args) {
  4.         int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
  5.         int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里 val[i] 就是前面讲的 v[i]
  6.         int m = 4; //背包的容量
  7.         int n = val.length; //物品的个数
  9.         //创建二维数组，
  10.         //v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值
  11.         int[][] v = new int[n+1][m+1];
  13.         //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
  14.         int[][] path = new int[n+1][m+1];
  16.         //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是 0
  17.         for(int i = 0; i < v.length; i++) {
  18.             v[i][0] = 0; //将第一列设置为 0
  19.         }
  20.         for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
  21.             v[0][i] = 0; //将第一行设置 0
  22.         }
  24.         //根据前面得到公式来动态规划处理
  25.         for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i 是从 1 开始的
  27.             for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j 是从 1 开始的
  29.                 //公式
  30.                 if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序 i 是从 1 开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
  31.                     v[i][j]=v[i-1][j];
  32.                 } else {
  33.                     //说明:
  34.                     //因为我们的 i 从 1 开始的， 因此公式需要调整成
  35.                     //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
  36.                     //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
  37.                     //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用 if-else 来体现公式
  38.                         if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
  39.                             v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
  40.                             //把当前的情况记录到 path
  41.                             path[i][j] = 1;
  42.                         } else {
  43.                             v[i][j] = v[i - 1][j];
  44.                         }
  45.                 }
  46.             }
  47.         }
  49.         //输出一下 v 看看目前的情况
  50.         for(int i =0; i < v.length;i++) {
  51.             for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
  52.                 System.out.print(v[i][j] + " ");
  53.             }
  54.             System.out.println();
  55.         }
  56.         System.out.println("============================");
  58.         //输出最后我们是放入的哪些商品
  59.         int i = path.length - 1; //行的最大下标
  60.         int j = path[0].length - 1; //列的最大下标
  61.         while(i > 0 && j > 0 ) { //从 path 的最后开始找
  62.             if(path[i][j] == 1) {
  63.                 System.out.printf("第%d 个商品放入到背包\n", i);
  64.                 j -= w[i-1]; //w[i-1]
  65.             }
  66.             i--;
  67.         }
  68.     }
  69. }