一、应用场景-最短路径问题

看一个应用场景和问题：
迪杰斯特拉算法 - 图1

  1. 战争时期，胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从 G 点出发，需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄
  2. 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
  3. 问：如何计算出 G 村庄到 其它各个村庄的最短距离?

  4. 如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?

    二、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍

    迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。它的主要特点是以 起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

    三、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程

  5. 设置出发顶点为 v，顶点集合 V{v1,v2,vi…}，v 到 V 中各顶点的距离构成距离集合 Dis，Dis{d1,d2,di…}，Dis 集合记录着 v 到图中各顶点的距离(到自身可以看作 0，v 到 vi 距离对应为 di)

  6. 从 Dis 中选择值最小的 di 并移出 Dis 集合，同时移出 V 集合中对应的顶点 vi，此时的 v到 vi 即为最短路径
  7. 更新 Dis 集合，更新规则为：比较 v 到 V 集合中顶点的距离值，与 v 通过 vi 到 V 集合中顶点的距离值，保留 值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为 vi，表明是通过 vi 到达的)

  8. 重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束

    四、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法最佳应用-最短路径

  9. 战争时期，胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从 G 点出发，需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄

  10. 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
  11. 问：如何计算出 G 村庄到 其它各个村庄的最短距离?
  12. 如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?
  13. 使用图解的方式分析了迪杰斯特拉(Dijkstra)算法 思路迪杰斯特拉算法 - 图2

代码实现：

  1. public class DijkstraAlgorithm {
  3.     public static void main(String[] args) {
  4.         char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
  5.         //邻接矩阵
  6.         int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
  7.         final int N = 65535;// 表示不可以连接
  8.         matrix[0]=new int[]{N,5,7,N,N,N,2};
  9.         matrix[1]=new int[]{5,N,N,9,N,N,3};
  10.         matrix[2]=new int[]{7,N,N,N,8,N,N};
  11.         matrix[3]=new int[]{N,9,N,N,N,4,N};
  12.         matrix[4]=new int[]{N,N,8,N,N,5,4};
  13.         matrix[5]=new int[]{N,N,N,4,5,N,6};
  14.         matrix[6]=new int[]{2,3,N,N,4,6,N};
  15.         //创建 Graph 对象
  16.         Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
  17.         //测试, 看看图的邻接矩阵是否 ok
  18.         graph.showGraph();
  19.         //测试迪杰斯特拉算法
  20.         graph.dsj(2);//C
  21.         graph.showDijkstra();
  22.     }
  23. }
  25. class Graph {
  26.     private char[] vertex; // 顶点数组
  27.     private int[][] matrix; // 邻接矩阵
  28.     private VisitedVertex vv; //已经访问的顶点的集合
  30.     // 构造器
  31.     public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {
  32.         this.vertex = vertex;
  33.         this.matrix = matrix;
  34.     }
  36.     //显示结果
  37.     public void showDijkstra() {
  38.         vv.show();
  39.     }
  41.     // 显示图
  42.     public void showGraph() {
  43.         for (int[] link : matrix) {
  44.             System.out.println(Arrays.toString(link));
  45.         }
  46.     }
  48.     //迪杰斯特拉算法实现
  49.     /**
  50.      *
  51.      * @param index 表示出发顶点对应的下标
  52.      */
  53.     public void dsj(int index) {
  54.         vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);
  55.         update(index);//更新 index 顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
  56.         for(int j = 1; j <vertex.length; j++) {
  57.             index = vv.updateArr();// 选择并返回新的访问顶点
  58.             update(index); // 更新 index 顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
  59.         }
  60.     }
  62.     //更新 index 下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点, 
  63.     private void update(int index) {
  64.         int len = 0;
  65.         //根据遍历我们的邻接矩阵的 matrix[index]行
  66.         for(int j = 0; j < matrix[index].length; j++) {
  67.             // len 含义是 : 出发顶点到 index 顶点的距离 + 从 index 顶点到 j 顶点的距离的和
  68.             len = vv.getDis(index) + matrix[index][j];
  69.             // 如果 j 顶点没有被访问过，并且 len 小于出发顶点到 j 顶点的距离，就需要更新
  70.             if(!vv.in(j) && len < vv.getDis(j)) {
  71.                 vv.updatePre(j, index); //更新 j 顶点的前驱为 index 顶点
  72.                 vv.updateDis(j, len); //更新出发顶点到 j 顶点的距离
  73.             }
  74.         }
  75.     }
  76. }
  78. // 已访问顶点集合
  79. class VisitedVertex {
  80.     // 记录各个顶点是否访问过 1 表示访问过,0 未访问,会动态更新
  81.     public int[] already_arr;
  83.     // 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新
  84.     public int[] pre_visited;
  86.     // 记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如 G 为出发顶点，就会记录 G 到其它顶点的距离，会动态更新，
  87.     // 求的最短距离就会存放到 dis
  88.     public int[] dis;
  90.     //构造器
  91.     /**
  92.      *
  93.      * @param length :表示顶点的个数
  94.      * @param index: 出发顶点对应的下标, 比如 G 顶点，下标就是 6
  95.      */
  96.     public VisitedVertex(int length, int index) {
  97.         this.already_arr = new int[length];
  98.         this.pre_visited = new int[length];
  99.         this.dis = new int[length];
  100.         //初始化 dis 数组
  101.         Arrays.fill(dis, 65535);
  102.         this.already_arr[index] = 1; //设置出发顶点被访问过
  103.         this.dis[index] = 0;//设置出发顶点的访问距离为 0
  104.     }
  106.     /**
  107.      * 功能: 判断 index 顶点是否被访问过
  108.      * @param index
  109.      * @return 如果访问过，就返回 true, 否则访问 false
  110.      */
  111.     public boolean in(int index) {
  112.         return already_arr[index] == 1;
  113.     }
  115.     /**
  116.      * 功能: 更新出发顶点到 index 顶点的距离
  117.      * @param index
  118.      * @param len
  119.      */
  120.     public void updateDis(int index, int len) {
  121.         dis[index] = len;
  122.     }
  124.     /**
  125.      * 功能: 更新 pre 这个顶点的前驱顶点为 index 顶点
  126.      * @param pre
  127.      * @param index
  128.      */
  129.     public void updatePre(int pre, int index) {
  130.         pre_visited[pre] = index;
  131.     }
  133.     /**
  134.      * 功能:返回出发顶点到 index 顶点的距离
  135.      * @param index
  136.      */
  137.     public int getDis(int index) {
  138.         return dis[index];
  139.     }
  141.     /**
  142.      * 继续选择并返回新的访问顶点， 比如这里的 G 完后，就是 A 点作为新的访问顶点(注意不是出发顶点)
  143.      * 这里实际上是获取 当前点可以访问的最短的路径到达的下一个点，访问点的索引位置并置为已访问
  144.      * @return
  145.      */
  146.     public int updateArr() {
  147.         int min = 65535, index = 0;
  148.         for(int i = 0; i < already_arr.length; i++) {
  149.             if(already_arr[i] == 0 && dis[i] < min ) {
  150.                 min = dis[i];
  151.                 index = i;
  152.             }
  153.         }
  154.         //更新 index 顶点被访问过
  155.         already_arr[index] = 1;
  156.         return index;
  157.     }
  159.     //显示最后的结果
  160.     //即将三个数组的情况输出
  161.     public void show() {
  162.         System.out.println("==========================");
  163.         //输出 already_arr
  164.         for(int i : already_arr) {
  165.             System.out.print(i + " ");
  166.         }
  167.         System.out.println();
  168.         //输出 pre_visited
  169.         for(int i : pre_visited) {
  170.             System.out.print(i + " ");
  171.         }
  172.         System.out.println();
  173.         //输出 dis
  174.         for(int i : dis) {
  175.             System.out.print(i + " ");
  176.         }
  177.         System.out.println();
  178.         //为了好看最后的最短距离，我们处理
  179.         char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
  180.         int count = 0;
  181.         for (int i : dis) {
  182.             if (i != 65535) {
  183.                 System.out.print(vertex[count] + "("+i+") ");
  184.             } else {
  185.                 System.out.println("N ");
  186.             }
  187.             count++;
  188.         }
  189.         System.out.println();
  190.     }
  191. }