一、堆排序基本介绍

  1. 堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复 杂度均为 O(nlogn)，它也是不稳定排序。
  2. 堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆, 注意 : 没有 要求结点的左孩子的值和右孩子的值的大小关系。
  3. 每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆
  4. 大顶堆举例说明：树结构实际应用-堆排序 - 图1大顶堆特点：
  5. 小顶堆举例说明：树结构实际应用-堆排序 - 图2小顶堆特点：

  6. 一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆

    二、堆排序基本思想

    堆排序的基本思想是：

  7. 将待排序序列构造成一个大顶堆

  8. 此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。
  9. 将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。
  10. 然后将剩余 n-1 个元素重新构造成一个堆，这样会得到 n 个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序 序列了

可以看到在构建大顶堆的过程中，元素的个数逐渐减少，最后就得到一个有序序列了

三、堆排序步骤图解说明

要求：给你一个数组 {4,6,8,5,9} , 要求使用堆排序法，将数组升序排序。
步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。

  1. 假设给定无序序列结构如下树结构实际应用-堆排序 - 图3
  2. 此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。树结构实际应用-堆排序 - 图4
  3. 找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换树结构实际应用-堆排序 - 图5
  4. 这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。树结构实际应用-堆排序 - 图6

此时，我们就将一个无序序列构造成了一个大顶堆。
步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换

  1. 将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

    树结构实际应用-堆排序 - 图7

  2. 重新调整结构，使其继续满足堆定义树结构实际应用-堆排序 - 图8

  3. 再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.树结构实际应用-堆排序 - 图9
  4. 后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序树结构实际应用-堆排序 - 图10

总结下堆排序的基本思路：

  1. 将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;
  2. 将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素”沉”到数组末端;

  3. 重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

    四、堆排序代码实现

    要求：给你一个数组 {4,6,8,5,9} , 要求使用堆排序法，将数组升序排序。
    代码实现：

    1. public class HeapSort {
    3.  public static void main(String[] args) {
    4.      //要求将数组进行升序排序
    5.      int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9};
    6.      System.out.println("排序前");
    7.      heapSort(arr);
    8.      System.out.println("排序后=" + Arrays.toString(arr));
    9.  }
    11.  //编写一个堆排序的方法
    12.  public static void heapSort(int arr[]) {
    13.      int temp = 0;
    14.      System.out.println("堆排序!!");
    15.      // //分步完成
    16.      // adjustHeap(arr, 1, arr.length);
    17.      // System.out.println("第一次" + Arrays.toString(arr)); // 4, 9, 8, 5, 6
    18.      //
    19.      // adjustHeap(arr, 0, arr.length);
    20.      // System.out.println("第 2 次" + Arrays.toString(arr)); // 9,6,8,5,4
    21.      //完成我们最终代码
    22.      //将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆
    23.      for(int i = arr.length / 2 -1; i >=0; i--) {
    24.          adjustHeap(arr, i, arr.length);
    25.      }
    26.      /*
    27.       * 2).将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;
    28.       3).重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换
    29.       步骤，直到整个序列有序。
    30.       */
    31.      for(int j = arr.length-1;j >0; j--) {
    32.          //交换
    33.          temp = arr[j];
    34.          arr[j] = arr[0];
    35.          arr[0] = temp;
    36.          adjustHeap(arr, 0, j);
    37.      }
    38.      //System.out.println("数组=" + Arrays.toString(arr));
    39.  }
    41.  //将一个数组(二叉树), 调整成一个大顶堆
    42.  /**
    43.   * 功能： 完成 将 以 i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆
    44.   * 举例 int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9}; => i = 1 => adjustHeap => 得到 {4, 9, 8, 5, 6}
    45.   * 如果我们再次调用 adjustHeap 传入的是 i = 0 => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} => {9,6,8,5, 4}
    46.   * @param arr 待调整的数组
    47.   * @param i 表示非叶子结点在数组中索引
    48.   * @param lenght 表示对多少个元素继续调整， length 是在逐渐的减少
    49.   */
    50.  public static void adjustHeap(int arr[], int i, int lenght) {
    51.      int temp = arr[i];//先取出当前元素的值，保存在临时变量
    52.      //开始调整
    53.      //说明
    54.      //1. k = i * 2 + 1 k 是 i 结点的左子结点
    55.      for(int k = i * 2 + 1; k < lenght; k = k * 2 + 1) {
    56.          if(k+1 < lenght && arr[k] < arr[k+1]) { //说明左子结点的值小于右子结点的值
    57.              k++; // k 指向右子结点
    58.          }
    59.          if(arr[k] > temp) { //如果子结点大于父结点
    60.              arr[i] = arr[k]; //把较大的值赋给当前结点
    61.              i = k; //!!! i 指向 k,继续循环比较
    62.          } else {
    63.              break;//!
    64.          }
    65.      }
    66.      //当 for 循环结束后，我们已经将以 i 为父结点的树的最大值，放在了 最顶(局部)
    67.      arr[i] = temp;//将 temp 值放到调整后的位置
    68.  }
    69. }

实现小顶堆排序：

  1. public class HeapSort {
  3.     public static void main(String[] args) {
  4.         //要求将数组进行升序排序
  5.         int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9};
  6.         System.out.println("排序前");
  7.         smallTopHeapSort(arr);
  8.         System.out.println("排序后=" + Arrays.toString(arr));
  9.     }
  11.     //编写一个堆排序的方法
  12.     public static void smallTopHeapSort(int[] arr) {
  13.         // 先排除一个小顶堆
  14.         for (int i = arr.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
  15.             smallTopHeap(arr, i, arr.length);
  16.         }
  17.         //        System.out.println("构造小顶堆结果：" + Arrays.toString(arr));
  19.         // 不断的跟最后一个数交换，然后再构造一个小顶堆，再交换
  20.         int temp;
  21.         for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) {
  22.             temp = arr[i];
  23.             arr[i] = arr[0];
  24.             arr[0] = temp;
  26.             // 再构造一个小顶堆
  27.             smallTopHeap(arr, 0, i);
  28.         }
  29.     }
  31.     /**
  32.       * @param arr    数组也是表示堆数据
  33.       * @param i      表示要构造大顶堆的顶的索引
  34.       * @param length 表示要构造大顶堆的数组长度，也是大顶堆的数据个数
  35.       */
  36.     public static void smallTopHeap(int[] arr, int i, int length) {
  37.         int temp = arr[i];
  39.         for (int k = i * 2 + 1; k < length; k = i * 2 + 2) {
  41.             // k+1 < length 为了防止数组越界
  42.             // arr[k] > arr[k+1] 选出最小的值的索引
  43.             if (k + 1 < length && arr[k] > arr[k + 1]) {
  44.                 k++;
  45.             }
  47.             if (temp > arr[k]) {
  48.                 // 小的值给顶
  49.                 arr[i] = arr[k];
  50.                 i = k;
  51.             } else {
  52.                 break;
  53.             }
  54.         }
  55.         // 因为 最后 i = k 的值，所以最后也要将 temp复制给 i
  56.         arr[i] = temp;
  57.     }
  58. }