一、动态规划解法
二、二分查找解法（Greedy Alg)

本文就借助经典的「最长递增子序列问题」来讲一讲设计动态规划的通用技巧：数学归纳思想。

最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简写 LIS）是非常经典的一个算法问题，比较容易想到的是动态规划解法，时间复杂度 O(N^2)，我们借这个问题来由浅入深讲解如何找状态转移方程，如何写出动态规划解法。比较难想到的是利用二分查找，时间复杂度是 O(NlogN)，我们通过一种简单的纸牌游戏来辅助理解这种巧妙的解法。

先看一下题目，LeetCode 第 300 题就是：

注意「子序列」和「子串」这两个名词的区别，子串一定是连续的，而子序列不一定是连续的。下面先来设计动态规划算法解决这个问题。

一、动态规划解法

动态规划的核心设计思想是数学归纳法。

相信大家对数学归纳法都不陌生，高中就学过，而且思路很简单。比如我们想证明一个数学结论，那么我们先假设这个结论在 **k<n** 时成立，然后根据这个假设，想办法推导证明出 **k=n** 的时候此结论也成立。如果能够证明出来，那么就说明这个结论对于 k 等于任何数都成立。

类似的，我们设计动态规划算法，不是需要一个 dp 数组吗？我们可以假设 dp[0...i-1] 都已经被算出来了，然后问自己：怎么通过这些结果算出 dp[i]？

直接拿最长递增子序列这个问题举例你就明白了。不过，首先要定义清楚 dp 数组的含义，即 dp[i] 的值到底代表着什么？

我们的定义是这样的：**dp[i]** 表示以 **nums[i]** 这个数结尾的最长递增子序列的长度。

PS：为什么这样定义呢？这是解决子序列问题的一个套路，后文动态规划之子序列问题解题模板总结了几种常见套路。你读完本章所有的动态规划问题，就会发现 dp 数组的定义方法也就那几种。

根据这个定义，我们就可以推出 base case：dp[i] 初始值为 1，因为以 nums[i] 结尾的最长递增子序列起码要包含它自己。

举两个例子：

算法演进的过程是这样的：

根据这个定义，我们的最终结果（子序列的最大长度）应该是 dp 数组中的最大值。

int res = 0;
for (int i = 0; i < dp.size(); i++) {
    res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;

读者也许会问，刚才的算法演进过程中每个 dp[i] 的结果是我们肉眼看出来的，我们应该怎么设计算法逻辑来正确计算每个 dp[i] 呢？

这就是动态规划的重头戏了，要思考如何设计算法逻辑进行状态转移，才能正确运行呢？这里就可以使用数学归纳的思想：

假设我们已经知道了 **dp[0..4]** 的所有结果，我们如何通过这些已知结果推出 **dp[5]** 呢？

根据刚才我们对 dp 数组的定义，现在想求 dp[5] 的值，也就是想求以 nums[5] 为结尾的最长递增子序列。

**nums[5] = 3**，既然是递增子序列，我们只要找到前面那些结尾比 3 小的子序列，然后把 3 接到最后，就可以形成一个新的递增子序列，而且这个新的子序列长度加一。

显然，可能形成很多种新的子序列，但是我们只选择最长的那一个，把最长子序列的长度作为 dp[5] 的值即可。

for (int j = 0; j < i; j++) {
    if (nums[i] > nums[j]) 
        dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}

当 i = 5 时，这段代码的逻辑就可以算出 dp[5]。其实到这里，这道算法题我们就基本做完了。

读者也许会问，我们刚才只是算了 dp[5] 呀，dp[4], dp[3] 这些怎么算呢？类似数学归纳法，你已经可以算出 dp[5] 了，其他的就都可以算出来：

for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) 
            dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
}

结合我们刚才说的 base case，下面我们看一下完整代码：

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
    int[] dp = new int[nums.length];
    // base case：dp 数组全都初始化为 1
    Arrays.fill(dp, 1);
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j]) 
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
    }
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
        res = Math.max(res, dp[i]);
    }
    return res;
}

至此，这道题就解决了，时间复杂度 O(N^2)。总结一下如何找到动态规划的状态转移关系：

1、明确 dp 数组所存数据的含义。这一步对于任何动态规划问题都很重要，如果不得当或者不够清晰，会阻碍之后的步骤。

2、根据 dp 数组的定义，运用数学归纳法的思想，假设 dp[0...i-1] 都已知，想办法求出 dp[i]，一旦这一步完成，整个题目基本就解决了。

但如果无法完成这一步，很可能就是 dp 数组的定义不够恰当，需要重新定义 dp 数组的含义；或者可能是 dp 数组存储的信息还不够，不足以推出下一步的答案，需要把 dp 数组扩大成二维数组甚至三维数组。

二、二分查找解法（Greedy Alg)

这个解法的时间复杂度为 O(NlogN)，但是说实话，正常人基本想不到这种解法（也许玩过某些纸牌游戏的人可以想出来）。所以大家了解一下就好，正常情况下能够给出动态规划解法就已经很不错了。

根据题目的意思，我都很难想象这个问题竟然能和二分查找扯上关系。其实最长递增子序列和一种叫做 patience game 的纸牌游戏有关，甚至有一种排序方法就叫做 patience sorting（耐心排序）。

为了简单起见，后文跳过所有数学证明，通过一个简化的例子来理解一下算法思路。

首先，给你一排扑克牌，我们像遍历数组那样从左到右一张一张处理这些扑克牌，最终要把这些牌分成若干堆。

处理这些扑克牌要遵循以下规则：

只能把点数小的牌压到点数比它大的牌上；如果当前牌点数较大没有可以放置的堆，则新建一个堆，把这张牌放进去；如果当前牌有多个堆可供选择，则选择最左边的那一堆放置。

比如说上述的扑克牌最终会被分成这样 5 堆（我们认为纸牌 A 的牌面是最大的，纸牌 2 的牌面是最小的）。

为什么遇到多个可选择堆的时候要放到最左边的堆上呢？稍加观察可以发现，这样可以保证牌堆顶的牌有序（2, 4, 7, 8, Q）。

按照上述规则执行，可以算出最长递增子序列，牌的堆数就是最长递增子序列的长度。

这个应该不难理解，因为如果从每堆拿出一张牌，就可以形成一个递增子序列。又因为每堆牌的值是递减的，所以这个递增子序列是最长的。具体证明可查看LongestIncreasingSubsequence.pdf。

我们只要把处理扑克牌的过程编程写出来即可。每次处理一张扑克牌不是要找一个合适的牌堆顶来放吗，牌堆顶的牌不是有序吗，这就能用到二分查找了：用二分查找来搜索当前牌应放置的位置。

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        vector<int> top(nums.size(),0);
        // 牌堆数初始化为 0
        int piles = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            // 要处理的扑克牌
            int poker = nums[i];
            /***** 搜索左侧边界的二分查找 *****/
            int left = 0, right = piles - 1;
            // while (left <= right) {
            //     int mid = (left + right) / 2;
            //     if (top[mid] >= poker) {
            //         right = mid -1;
            //     } else if (top[mid] < poker) {
            //         left = mid + 1;
            //     } 
            // }
            left = lower_bound(top.begin(),top.begin() + right + 1,poker) 
                - top.begin();
            /*********************************/
            // 没找到合适的牌堆，新建一堆
            if (left >= piles) left = piles++;
            // 把这张牌放到牌堆顶
            top[left] = poker;
        }
        // 牌堆数就是 LIS 长度
        return piles;
  }

或者：

int lengthOfLIS(const vector<int>& nums){
    vector<int> tops;
    for(auto x:nums){
        int left = lower_bound(tops.begin(), tops.end(),x) - tops.begin();
        //没找到,新建一堆
        if(left>=tops.size()){
            tops.emplace_back(x);
        }else{
         // 把这张牌放到牌堆顶
            tops[left] = x;
        }
    }
    return tops.size(); 
}

至此，二分查找的解法也讲解完毕。

这个解法确实很难想到。首先涉及数学证明，谁能想到按照这些规则执行，就能得到最长递增子序列呢？其次还有二分查找的运用，要是对二分查找的细节不清楚，给了思路也很难写对。

所以，这个方法作为思维拓展好了。但动态规划的设计方法应该完全理解：假设之前的答案已知，利用数学归纳的思想正确进行状态的推演转移，最终得到答案。