Description

难度：中等
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

  1. 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
  2. 输出：4
  3. 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：

1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104

进阶：
你可以设计时间复杂度为 O(n2) 的解决方案吗？
你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

Solution

题解来自于：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/solution/zui-chang-shang-sheng-zi-xu-lie-dong-tai-gui-hua-2/
动态规划：
状态态定义：dp[i] 表示在数组 nums 中以 nums[i] 结尾的最长的递增子序列的长度
转移方程：设 j∈[0,i)，在每轮计算 dp[i] 的值时，遍历 [0, i) 区间，做一下的判断：

  1. 当 nums[i] > nums[j] 时，此时 nums[i] 可以拼接到 nums[j] 之后，成、在这种情况下，最长递增子序列的长度 dp[j] + 1
  2. 当 nums[i] <= nums[j] 时，此时 nums[i] 无法拼接都 nums[j]，跳过当前 nums[j]
  3. 在上述 1 的情况下，计算 dp[i] 的最大值，即为以 nums[i] 结尾的最长的递增子序列的长度，实现方式为：定义 j 来遍历区间[0, i)，每轮遍历中 dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)

初始状态：dp数组所有元素都置为1，表示每个元素至少能单独成为一个子序列，所以长度为1

返回值：dp 列表中的最大值，即可得到全局中的最长递增子序列

复杂度分析：
时间复杂度：O(n2)
空间复杂度为：O(n)